Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106122 / 45178
↖ ↑ ↗
← N 48.701838°
E111.472778°		 ← 201.53 m → N 48.701838°
E111.475525°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
N 48.700025°
E111.472778°		 ← 201.54 m →
40 625 m²		 N 48.700025°
E111.475525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809650421142578 y=0.344684600830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809650421142578 × 217)
    floor (0.809650421142578 × 131072)
    floor (106122.5)     		tx = 106122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344684600830078 × 217)
    floor (0.344684600830078 × 131072)
    floor (45178.5)     		ty = 45178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106122 / 45178 ti = "17/106122/45178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106122/45178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106122 ÷ 217
    106122 ÷ 131072     		x = 0.809646606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45178 ÷ 217
    45178 ÷ 131072     		y = 0.344680786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809646606445312 × 2 - 1) × π
    0.619293212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94556701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344680786132812 × 2 - 1) × π
    0.310638427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.975899402465103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94556701} λ = 1.94556701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975899402465103))-π/2
    2×atan(2.65355274992656)-π/2
    2×1.21040187286874-π/2
    2.42080374573748-1.57079632675     		φ = 0.85000742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94556701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.472778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85000742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.701838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106122 KachelY 45178 1.94556701 0.85000742 111.472778 48.701838
    Oben rechts KachelX + 1 106123 KachelY 45178 1.94561494 0.85000742 111.475525 48.701838
    Unten links KachelX 106122 KachelY + 1 45179 1.94556701 0.84997578 111.472778 48.700025
    Unten rechts KachelX + 1 106123 KachelY + 1 45179 1.94561494 0.84997578 111.475525 48.700025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85000742-0.84997578) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85000742-0.84997578) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94556701-1.94561494) × cos(0.85000742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659977571366208 × 6371000     		do = 201.532090946979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94556701-1.94561494) × cos(0.84997578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660001341702817 × 6371000     		du = 201.539349505219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85000742)-sin(0.84997578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659977571366208-0.660001341702817)×R²
    abs(1.94561494-1.94556701)×2.37703366091635e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37703366091635e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37703366091635e-05×40589641000000     		ar = 40625.2560908372m²