Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106122 / 44930
↖ ↑ ↗
← N 49.149377°
E111.472778°		 ← 199.73 m → N 49.149377°
E111.475525°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
N 49.147580°
E111.472778°		 ← 199.74 m →
39 906 m²		 N 49.147580°
E111.475525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809650421142578 y=0.342792510986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809650421142578 × 217)
    floor (0.809650421142578 × 131072)
    floor (106122.5)     		tx = 106122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342792510986328 × 217)
    floor (0.342792510986328 × 131072)
    floor (44930.5)     		ty = 44930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106122 / 44930 ti = "17/106122/44930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106122/44930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106122 ÷ 217
    106122 ÷ 131072     		x = 0.809646606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44930 ÷ 217
    44930 ÷ 131072     		y = 0.342788696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809646606445312 × 2 - 1) × π
    0.619293212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94556701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342788696289062 × 2 - 1) × π
    0.314422607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.987787753570877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94556701} λ = 1.94556701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987787753570877))-π/2
    2×atan(2.68528737914117)-π/2
    2×1.21430738833402-π/2
    2.42861477666805-1.57079632675     		φ = 0.85781845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94556701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.472778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85781845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.149377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106122 KachelY 44930 1.94556701 0.85781845 111.472778 49.149377
    Oben rechts KachelX + 1 106123 KachelY 44930 1.94561494 0.85781845 111.475525 49.149377
    Unten links KachelX 106122 KachelY + 1 44931 1.94556701 0.85778709 111.472778 49.147580
    Unten rechts KachelX + 1 106123 KachelY + 1 44931 1.94561494 0.85778709 111.475525 49.147580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85781845-0.85778709) × R
    3.13600000000358e-05 × 6371000     		dl = 199.794560000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85781845-0.85778709) × R
    3.13600000000358e-05 × 6371000     		dr = 199.794560000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94556701-1.94561494) × cos(0.85781845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654089185769106 × 6371000     		do = 199.734001567624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94556701-1.94561494) × cos(0.85778709) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654112906698255 × 6371000     		du = 199.741245038702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85781845)-sin(0.85778709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654089185769106-0.654112906698255)×R²
    abs(1.94561494-1.94556701)×2.37209291484852e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37209291484852e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37209291484852e-05×40589641000000     		ar = 39906.4905664938m²