Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106118 / 44994
↖ ↑ ↗
← N 49.034267°
E111.461792°		 ← 200.24 m → N 49.034267°
E111.464539°		 →
↑
200.24 m
↓
↑
200.24 m
↓
N 49.032466°
E111.461792°		 ← 200.25 m →
40 097 m²		 N 49.032466°
E111.464539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809619903564453 y=0.343280792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809619903564453 × 217)
    floor (0.809619903564453 × 131072)
    floor (106118.5)     		tx = 106118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343280792236328 × 217)
    floor (0.343280792236328 × 131072)
    floor (44994.5)     		ty = 44994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106118 / 44994 ti = "17/106118/44994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106118/44994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106118 ÷ 217
    106118 ÷ 131072     		x = 0.809616088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44994 ÷ 217
    44994 ÷ 131072     		y = 0.343276977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809616088867188 × 2 - 1) × π
    0.619232177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94537526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343276977539062 × 2 - 1) × π
    0.313446044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.984719791995194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94537526} λ = 1.94537526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984719791995194))-π/2
    2×atan(2.67706164521209)-π/2
    2×1.21330286363482-π/2
    2.42660572726963-1.57079632675     		φ = 0.85580940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94537526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.461792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85580940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.034267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106118 KachelY 44994 1.94537526 0.85580940 111.461792 49.034267
    Oben rechts KachelX + 1 106119 KachelY 44994 1.94542320 0.85580940 111.464539 49.034267
    Unten links KachelX 106118 KachelY + 1 44995 1.94537526 0.85577797 111.461792 49.032466
    Unten rechts KachelX + 1 106119 KachelY + 1 44995 1.94542320 0.85577797 111.464539 49.032466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85580940-0.85577797) × R
    3.14300000000545e-05 × 6371000     		dl = 200.240530000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85580940-0.85577797) × R
    3.14300000000545e-05 × 6371000     		dr = 200.240530000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94537526-1.94542320) × cos(0.85580940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655607545152301 × 6371000     		do = 200.239419627594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94537526-1.94542320) × cos(0.85577797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655631277678434 × 6371000     		du = 200.24666815195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85580940)-sin(0.85577797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655607545152301-0.655631277678434)×R²
    abs(1.94542320-1.94537526)×2.37325261333021e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37325261333021e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37325261333021e-05×40589641000000     		ar = 40096.7732406507m²