Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106118 / 44924
↖ ↑ ↗
← N 49.160155°
E111.461792°		 ← 199.73 m → N 49.160155°
E111.464539°		 →
↑
199.73 m
↓
↑
199.73 m
↓
N 49.158358°
E111.461792°		 ← 199.74 m →
39 893 m²		 N 49.158358°
E111.464539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809619903564453 y=0.342746734619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809619903564453 × 217)
    floor (0.809619903564453 × 131072)
    floor (106118.5)     		tx = 106118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342746734619141 × 217)
    floor (0.342746734619141 × 131072)
    floor (44924.5)     		ty = 44924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106118 / 44924 ti = "17/106118/44924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106118/44924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106118 ÷ 217
    106118 ÷ 131072     		x = 0.809616088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44924 ÷ 217
    44924 ÷ 131072     		y = 0.342742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809616088867188 × 2 - 1) × π
    0.619232177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94537526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342742919921875 × 2 - 1) × π
    0.31451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.988075374968597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94537526} λ = 1.94537526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988075374968597))-π/2
    2×atan(2.68605983633272)-π/2
    2×1.21440144312467-π/2
    2.42880288624933-1.57079632675     		φ = 0.85800656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94537526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.461792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85800656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.160155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106118 KachelY 44924 1.94537526 0.85800656 111.461792 49.160155
    Oben rechts KachelX + 1 106119 KachelY 44924 1.94542320 0.85800656 111.464539 49.160155
    Unten links KachelX 106118 KachelY + 1 44925 1.94537526 0.85797521 111.461792 49.158358
    Unten rechts KachelX + 1 106119 KachelY + 1 44925 1.94542320 0.85797521 111.464539 49.158358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85800656-0.85797521) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dl = 199.730849999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85800656-0.85797521) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dr = 199.730849999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94537526-1.94542320) × cos(0.85800656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653946884513518 × 6371000     		do = 199.732211123105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94537526-1.94542320) × cos(0.85797521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653970601735674 × 6371000     		du = 199.739454973232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85800656)-sin(0.85797521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653946884513518-0.653970601735674)×R²
    abs(1.94542320-1.94537526)×2.37172221558835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37172221558835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37172221558835e-05×40589641000000     		ar = 39893.4077133886m²