Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106113 / 44915
↖ ↑ ↗
← N 49.176317°
E111.448059°		 ← 199.63 m → N 49.176317°
E111.450806°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
N 49.174522°
E111.448059°		 ← 199.63 m →
39 859 m²		 N 49.174522°
E111.450806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809581756591797 y=0.342678070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809581756591797 × 217)
    floor (0.809581756591797 × 131072)
    floor (106113.5)     		tx = 106113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342678070068359 × 217)
    floor (0.342678070068359 × 131072)
    floor (44915.5)     		ty = 44915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106113 / 44915 ti = "17/106113/44915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106113/44915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106113 ÷ 217
    106113 ÷ 131072     		x = 0.809577941894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44915 ÷ 217
    44915 ÷ 131072     		y = 0.342674255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809577941894531 × 2 - 1) × π
    0.619155883789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.94513558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342674255371094 × 2 - 1) × π
    0.314651489257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.988506807065178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94513558} λ = 1.94513558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988506807065178))-π/2
    2×atan(2.68721893877847)-π/2
    2×1.21454248694129-π/2
    2.42908497388259-1.57079632675     		φ = 0.85828865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94513558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.448059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85828865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.176317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106113 KachelY 44915 1.94513558 0.85828865 111.448059 49.176317
    Oben rechts KachelX + 1 106114 KachelY 44915 1.94518351 0.85828865 111.450806 49.176317
    Unten links KachelX 106113 KachelY + 1 44916 1.94513558 0.85825731 111.448059 49.174522
    Unten rechts KachelX + 1 106114 KachelY + 1 44916 1.94518351 0.85825731 111.450806 49.174522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85828865-0.85825731) × R
    3.13399999999353e-05 × 6371000     		dl = 199.667139999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85828865-0.85825731) × R
    3.13399999999353e-05 × 6371000     		dr = 199.667139999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94513558-1.94518351) × cos(0.85828865) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.65373344599829 × 6371000     		do = 199.625372148131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94513558-1.94518351) × cos(0.85825731) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.653757161435756 × 6371000     		du = 199.632613942258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85828865)-sin(0.85825731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65373344599829-0.653757161435756)×R²
    abs(1.94518351-1.94513558)×2.37154374662651e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.37154374662651e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.37154374662651e-05×40589641000000     		ar = 39859.3501055308m²