Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106101 / 44917
↖ ↑ ↗
← N 49.172726°
E111.415100°		 ← 199.68 m → N 49.172726°
E111.417847°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
N 49.170930°
E111.415100°		 ← 199.69 m →
39 871 m²		 N 49.170930°
E111.417847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809490203857422 y=0.342693328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809490203857422 × 217)
    floor (0.809490203857422 × 131072)
    floor (106101.5)     		tx = 106101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342693328857422 × 217)
    floor (0.342693328857422 × 131072)
    floor (44917.5)     		ty = 44917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106101 / 44917 ti = "17/106101/44917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106101/44917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106101 ÷ 217
    106101 ÷ 131072     		x = 0.809486389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44917 ÷ 217
    44917 ÷ 131072     		y = 0.342689514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809486389160156 × 2 - 1) × π
    0.618972778320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.94456033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342689514160156 × 2 - 1) × π
    0.314620971679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.988410933265938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94456033} λ = 1.94456033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988410933265938))-π/2
    2×atan(2.6869613172392)-π/2
    2×1.21451114784982-π/2
    2.42902229569964-1.57079632675     		φ = 0.85822597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94456033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.415100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85822597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.172726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106101 KachelY 44917 1.94456033 0.85822597 111.415100 49.172726
    Oben rechts KachelX + 1 106102 KachelY 44917 1.94460827 0.85822597 111.417847 49.172726
    Unten links KachelX 106101 KachelY + 1 44918 1.94456033 0.85819463 111.415100 49.170930
    Unten rechts KachelX + 1 106102 KachelY + 1 44918 1.94460827 0.85819463 111.417847 49.170930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85822597-0.85819463) × R
    3.13400000000463e-05 × 6371000     		dl = 199.667140000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85822597-0.85819463) × R
    3.13400000000463e-05 × 6371000     		dr = 199.667140000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94456033-1.94460827) × cos(0.85822597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653780876231105 × 6371000     		do = 199.681507920603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94456033-1.94460827) × cos(0.85819463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653804590384313 × 6371000     		du = 199.688750833395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85822597)-sin(0.85819463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653780876231105-0.653804590384313)×R²
    abs(1.94460827-1.94456033)×2.37141532082319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37141532082319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37141532082319e-05×40589641000000     		ar = 39870.5586864322m²