Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106100 / 44918
↖ ↑ ↗
← N 49.170930°
E111.412354°		 ← 199.65 m → N 49.170930°
E111.415100°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
N 49.169135°
E111.412354°		 ← 199.65 m →
39 864 m²		 N 49.169135°
E111.415100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809482574462891 y=0.342700958251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809482574462891 × 217)
    floor (0.809482574462891 × 131072)
    floor (106100.5)     		tx = 106100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342700958251953 × 217)
    floor (0.342700958251953 × 131072)
    floor (44918.5)     		ty = 44918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106100 / 44918 ti = "17/106100/44918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106100/44918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106100 ÷ 217
    106100 ÷ 131072     		x = 0.809478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44918 ÷ 217
    44918 ÷ 131072     		y = 0.342697143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809478759765625 × 2 - 1) × π
    0.61895751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94451240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342697143554688 × 2 - 1) × π
    0.314605712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.988362996366318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94451240} λ = 1.94451240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988362996366318))-π/2
    2×atan(2.68683251573145)-π/2
    2×1.21449547745148-π/2
    2.42899095490295-1.57079632675     		φ = 0.85819463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94451240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.412354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85819463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.170930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106100 KachelY 44918 1.94451240 0.85819463 111.412354 49.170930
    Oben rechts KachelX + 1 106101 KachelY 44918 1.94456033 0.85819463 111.415100 49.170930
    Unten links KachelX 106100 KachelY + 1 44919 1.94451240 0.85816329 111.412354 49.169135
    Unten rechts KachelX + 1 106101 KachelY + 1 44919 1.94456033 0.85816329 111.415100 49.169135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85819463-0.85816329) × R
    3.13399999999353e-05 × 6371000     		dl = 199.667139999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85819463-0.85816329) × R
    3.13399999999353e-05 × 6371000     		dr = 199.667139999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94451240-1.94456033) × cos(0.85819463) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.653804590384313 × 6371000     		do = 199.647096943195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94451240-1.94456033) × cos(0.85816329) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.653828303895358 × 6371000     		du = 199.654338149066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85819463)-sin(0.85816329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653804590384313-0.653828303895358)×R²
    abs(1.94456033-1.94451240)×2.37135110441322e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37135110441322e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37135110441322e-05×40589641000000     		ar = 39863.6877745983m²