Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10610 / 5616
↖ ↑ ↗
← N 81.531226°
W121.717529°		 ← 89.95 m → N 81.531226°
W121.712036°		 →
↑
89.96 m
↓
↑
89.96 m
↓
N 81.530417°
W121.717529°		 ← 89.96 m →
8 092 m²		 N 81.530417°
W121.712036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161903381347656 y=0.0857009887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161903381347656 × 216)
    floor (0.161903381347656 × 65536)
    floor (10610.5)     		tx = 10610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0857009887695312 × 216)
    floor (0.0857009887695312 × 65536)
    floor (5616.5)     		ty = 5616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10610 / 5616 ti = "16/10610/5616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10610/5616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10610 ÷ 216
    10610 ÷ 65536     		x = 0.161895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5616 ÷ 216
    5616 ÷ 65536     		y = 0.085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.67620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12437164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085693359375 × 2 - 1) × π
    0.82861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60316539696753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12437164} λ = -2.12437164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60316539696753))-π/2
    2×atan(13.5064236333395)-π/2
    2×1.49689232648992-π/2
    2.99378465297984-1.57079632675     		φ = 1.42298833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12437164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.717529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42298833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.531226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10610 KachelY 5616 -2.12437164 1.42298833 -121.717529 81.531226
    Oben rechts KachelX + 1 10611 KachelY 5616 -2.12427577 1.42298833 -121.712036 81.531226
    Unten links KachelX 10610 KachelY + 1 5617 -2.12437164 1.42297421 -121.717529 81.530417
    Unten rechts KachelX + 1 10611 KachelY + 1 5617 -2.12427577 1.42297421 -121.712036 81.530417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42298833-1.42297421) × R
    1.41199999998953e-05 × 6371000     		dl = 89.9585199993331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42298833-1.42297421) × R
    1.41199999998953e-05 × 6371000     		dr = 89.9585199993331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12437164--2.12427577) × cos(1.42298833) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147270385821466 × 6371000     		do = 89.9509505429306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12437164--2.12427577) × cos(1.42297421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147284351846132 × 6371000     		du = 89.9594808199921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42298833)-sin(1.42297421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147270385821466-0.147284351846132)×R²
    abs(-2.12427577--2.12437164)×1.39660246660789e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39660246660789e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39660246660789e-05×40589641000000     		ar = 8092.23806897811m²