Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1061 / 933
↖ ↑ ↗
← N 79.897448°
W133.374024°		 ← 857.14 m → N 79.897448°
W133.330078°		 →
↑
857.47 m
↓
↑
857.47 m
↓
N 79.889737°
W133.374024°		 ← 857.79 m →
735 254 m²		 N 79.889737°
W133.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12957763671875 y=0.11395263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12957763671875 × 213)
    floor (0.12957763671875 × 8192)
    floor (1061.5)     		tx = 1061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11395263671875 × 213)
    floor (0.11395263671875 × 8192)
    floor (933.5)     		ty = 933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1061 / 933 ti = "13/1061/933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1061/933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1061 ÷ 213
    1061 ÷ 8192     		x = 0.1295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 933 ÷ 213
    933 ÷ 8192     		y = 0.1138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32781585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1138916015625 × 2 - 1) × π
    0.772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4259906159718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32781585} λ = -2.32781585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4259906159718))-π/2
    2×atan(11.3134311356428)-π/2
    2×1.48263493400482-π/2
    2.96526986800964-1.57079632675     		φ = 1.39447354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32781585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.374024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39447354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.897448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1061 KachelY 933 -2.32781585 1.39447354 -133.374024 79.897448
    Oben rechts KachelX + 1 1062 KachelY 933 -2.32704886 1.39447354 -133.330078 79.897448
    Unten links KachelX 1061 KachelY + 1 934 -2.32781585 1.39433895 -133.374024 79.889737
    Unten rechts KachelX + 1 1062 KachelY + 1 934 -2.32704886 1.39433895 -133.330078 79.889737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39447354-1.39433895) × R
    0.000134589999999823 × 6371000     		dl = 857.472889998875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39447354-1.39433895) × R
    0.000134589999999823 × 6371000     		dr = 857.472889998875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32781585--2.32704886) × cos(1.39447354) × R
    0.000766989999999801 × 0.175410568151843 × 6371000     		do = 857.142564268844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32781585--2.32704886) × cos(1.39433895) × R
    0.000766989999999801 × 0.17554306979449 × 6371000     		du = 857.790032656553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39447354)-sin(1.39433895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175410568151843-0.17554306979449)×R²
    abs(-2.32704886--2.32781585)×0.000132501642647165×R²
    0.000766989999999801×0.000132501642647165×6371000²
    0.000766989999999801×0.000132501642647165×40589641000000     		ar = 735254.10612727m²