Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1061 / 3101
↖ ↑ ↗
← N 40.010787°
W133.374024°		 ← 3 742.68 m → N 40.010787°
W133.330078°		 →
↑
3 743.60 m
↓
↑
3 743.60 m
↓
N 39.977120°
W133.374024°		 ← 3 744.53 m →
14 014 549 m²		 N 39.977120°
W133.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12957763671875 y=0.37860107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12957763671875 × 213)
    floor (0.12957763671875 × 8192)
    floor (1061.5)     		tx = 1061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37860107421875 × 213)
    floor (0.37860107421875 × 8192)
    floor (3101.5)     		ty = 3101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1061 / 3101 ti = "13/1061/3101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1061/3101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1061 ÷ 213
    1061 ÷ 8192     		x = 0.1295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3101 ÷ 213
    3101 ÷ 8192     		y = 0.3785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32781585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3785400390625 × 2 - 1) × π
    0.242919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.763155441951294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32781585} λ = -2.32781585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763155441951294))-π/2
    2×atan(2.14503408340125)-π/2
    2×1.13455814934696-π/2
    2.26911629869392-1.57079632675     		φ = 0.69831997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32781585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.374024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69831997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.010787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1061 KachelY 3101 -2.32781585 0.69831997 -133.374024 40.010787
    Oben rechts KachelX + 1 1062 KachelY 3101 -2.32704886 0.69831997 -133.330078 40.010787
    Unten links KachelX 1061 KachelY + 1 3102 -2.32781585 0.69773237 -133.374024 39.977120
    Unten rechts KachelX + 1 1062 KachelY + 1 3102 -2.32704886 0.69773237 -133.330078 39.977120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69831997-0.69773237) × R
    0.000587600000000021 × 6371000     		dl = 3743.59960000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69831997-0.69773237) × R
    0.000587600000000021 × 6371000     		dr = 3743.59960000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32781585--2.32704886) × cos(0.69831997) × R
    0.000766989999999801 × 0.765923412432855 × 6371000     		do = 3742.67961550608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32781585--2.32704886) × cos(0.69773237) × R
    0.000766989999999801 × 0.766301066922434 × 6371000     		du = 3744.52502163534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69831997)-sin(0.69773237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765923412432855-0.766301066922434)×R²
    abs(-2.32704886--2.32781585)×0.000377654489578827×R²
    0.000766989999999801×0.000377654489578827×6371000²
    0.000766989999999801×0.000377654489578827×40589641000000     		ar = 14014548.5455983m²