Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1061 / 1083
↖ ↑ ↗
← S 10.314919°
E  6.503906°		 ← 19.230 km → S 10.314919°
E  6.679688°		 →
↑
19.225 km
↓
↑
19.225 km
↓
S 10.487812°
E  6.503906°		 ← 19.219 km →
369.593 km²		 S 10.487812°
E  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518310546875 y=0.529052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518310546875 × 211)
    floor (0.518310546875 × 2048)
    floor (1061.5)     		tx = 1061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529052734375 × 211)
    floor (0.529052734375 × 2048)
    floor (1083.5)     		ty = 1083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1061 / 1083 ti = "11/1061/1083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1061/1083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1061 ÷ 211
    1061 ÷ 2048     		x = 0.51806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1083 ÷ 211
    1083 ÷ 2048     		y = 0.52880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52880859375 × 2 - 1) × π
    -0.0576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.181009732965332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11351458} λ = 0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181009732965332))-π/2
    2×atan(0.834427237204895)-π/2
    2×0.695383511592543-π/2
    1.39076702318509-1.57079632675     		φ = -0.18002930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18002930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.314919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1061 KachelY 1083 0.11351458 -0.18002930 6.503906 -10.314919
    Oben rechts KachelX + 1 1062 KachelY 1083 0.11658254 -0.18002930 6.679688 -10.314919
    Unten links KachelX 1061 KachelY + 1 1084 0.11351458 -0.18304685 6.503906 -10.487812
    Unten rechts KachelX + 1 1062 KachelY + 1 1084 0.11658254 -0.18304685 6.679688 -10.487812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18002930--0.18304685) × R
    0.00301755000000001 × 6371000     		dl = 19224.81105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18002930--0.18304685) × R
    0.00301755000000001 × 6371000     		dr = 19224.81105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11351458-0.11658254) × cos(-0.18002930) × R
    0.00306795999999999 × 0.983838446799311 × 6371000     		do = 19230.0798749154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11351458-0.11658254) × cos(-0.18304685) × R
    0.00306795999999999 × 0.983293650724252 × 6371000     		du = 19219.4313054546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18002930)-sin(-0.18304685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983838446799311-0.983293650724252)×R²
    abs(0.11658254-0.11351458)×0.000544796075058862×R²
    0.00306795999999999×0.000544796075058862×6371000²
    0.00306795999999999×0.000544796075058862×40589641000000     		ar = 369592574.150873m²