Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10609 / 5615
↖ ↑ ↗
← N 81.532034°
W121.723023°		 ← 89.95 m → N 81.532034°
W121.717529°		 →
↑
89.89 m
↓
↑
89.89 m
↓
N 81.531226°
W121.723023°		 ← 89.96 m →
8 087 m²		 N 81.531226°
W121.717529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161888122558594 y=0.0856857299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161888122558594 × 216)
    floor (0.161888122558594 × 65536)
    floor (10609.5)     		tx = 10609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0856857299804688 × 216)
    floor (0.0856857299804688 × 65536)
    floor (5615.5)     		ty = 5615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10609 / 5615 ti = "16/10609/5615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10609/5615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10609 ÷ 216
    10609 ÷ 65536     		x = 0.161880493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5615 ÷ 216
    5615 ÷ 65536     		y = 0.0856781005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161880493164062 × 2 - 1) × π
    -0.676239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12446752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0856781005859375 × 2 - 1) × π
    0.828643798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60326127076677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12446752} λ = -2.12446752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60326127076677))-π/2
    2×atan(13.5077186075635)-π/2
    2×1.49689938584109-π/2
    2.99379877168217-1.57079632675     		φ = 1.42300244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12446752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.723023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42300244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.532034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10609 KachelY 5615 -2.12446752 1.42300244 -121.723023 81.532034
    Oben rechts KachelX + 1 10610 KachelY 5615 -2.12437164 1.42300244 -121.717529 81.532034
    Unten links KachelX 10609 KachelY + 1 5616 -2.12446752 1.42298833 -121.723023 81.531226
    Unten rechts KachelX + 1 10610 KachelY + 1 5616 -2.12437164 1.42298833 -121.717529 81.531226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42300244-1.42298833) × R
    1.41100000001781e-05 × 6371000     		dl = 89.894810001135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42300244-1.42298833) × R
    1.41100000001781e-05 × 6371000     		dr = 89.894810001135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12446752--2.12437164) × cos(1.42300244) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.147256429658421 × 6371000     		do = 89.9518079963032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12446752--2.12437164) × cos(1.42298833) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.147270385821466 × 6371000     		du = 89.9603331391542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42300244)-sin(1.42298833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147256429658421-0.147270385821466)×R²
    abs(-2.12437164--2.12446752)×1.39561630447815e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.39561630447815e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.39561630447815e-05×40589641000000     		ar = 8086.58387226989m²