Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106088 / 100007
↖ ↑ ↗
← S 68.309012°
E111.379394°		 ← 112.89 m → S 68.309012°
E111.382141°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 68.310027°
E111.379394°		 ← 112.88 m →
12 744 m²		 S 68.310027°
E111.382141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809391021728516 y=0.762996673583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809391021728516 × 217)
    floor (0.809391021728516 × 131072)
    floor (106088.5)     		tx = 106088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762996673583984 × 217)
    floor (0.762996673583984 × 131072)
    floor (100007.5)     		ty = 100007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106088 / 100007 ti = "17/106088/100007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106088/100007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106088 ÷ 217
    106088 ÷ 131072     		x = 0.80938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100007 ÷ 217
    100007 ÷ 131072     		y = 0.762992858886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80938720703125 × 2 - 1) × π
    0.6187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94393715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762992858886719 × 2 - 1) × π
    -0.525985717773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.65243286680296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94393715} λ = 1.94393715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65243286680296))-π/2
    2×atan(0.191583244669354)-π/2
    2×0.189289582745228-π/2
    0.378579165490457-1.57079632675     		φ = -1.19221716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94393715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.379394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19221716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.309012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106088 KachelY 100007 1.94393715 -1.19221716 111.379394 -68.309012
    Oben rechts KachelX + 1 106089 KachelY 100007 1.94398509 -1.19221716 111.382141 -68.309012
    Unten links KachelX 106088 KachelY + 1 100008 1.94393715 -1.19223488 111.379394 -68.310027
    Unten rechts KachelX + 1 106089 KachelY + 1 100008 1.94398509 -1.19223488 111.382141 -68.310027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19221716--1.19223488) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19221716--1.19223488) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94393715-1.94398509) × cos(-1.19221716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369600617905365 × 6371000     		do = 112.885542228129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94393715-1.94398509) × cos(-1.19223488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369584152587885 × 6371000     		du = 112.880513296354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19221716)-sin(-1.19223488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369600617905365-0.369584152587885)×R²
    abs(1.94398509-1.94393715)×1.64653174806739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64653174806739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64653174806739e-05×40589641000000     		ar = 12743.8300825475m²