Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106085 / 45085
↖ ↑ ↗
← N 48.870135°
E111.371155°		 ← 200.90 m → N 48.870135°
E111.373901°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
N 48.868328°
E111.371155°		 ← 200.91 m →
40 357 m²		 N 48.868328°
E111.373901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809368133544922 y=0.343975067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809368133544922 × 217)
    floor (0.809368133544922 × 131072)
    floor (106085.5)     		tx = 106085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343975067138672 × 217)
    floor (0.343975067138672 × 131072)
    floor (45085.5)     		ty = 45085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106085 / 45085 ti = "17/106085/45085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106085/45085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106085 ÷ 217
    106085 ÷ 131072     		x = 0.809364318847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45085 ÷ 217
    45085 ÷ 131072     		y = 0.343971252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809364318847656 × 2 - 1) × π
    0.618728637695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.94379334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343971252441406 × 2 - 1) × π
    0.312057495117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.980357534129768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94379334} λ = 1.94379334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980357534129768))-π/2
    2×atan(2.66540904629307)-π/2
    2×1.21187054330464-π/2
    2.42374108660929-1.57079632675     		φ = 0.85294476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94379334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.371155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85294476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.870135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106085 KachelY 45085 1.94379334 0.85294476 111.371155 48.870135
    Oben rechts KachelX + 1 106086 KachelY 45085 1.94384128 0.85294476 111.373901 48.870135
    Unten links KachelX 106085 KachelY + 1 45086 1.94379334 0.85291323 111.371155 48.868328
    Unten rechts KachelX + 1 106086 KachelY + 1 45086 1.94384128 0.85291323 111.373901 48.868328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85294476-0.85291323) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85294476-0.85291323) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94379334-1.94384128) × cos(0.85294476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657767947039929 × 6371000     		do = 200.899261972819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94379334-1.94384128) × cos(0.85291323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657791695759649 × 6371000     		du = 200.906515443114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85294476)-sin(0.85291323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657767947039929-0.657791695759649)×R²
    abs(1.94384128-1.94379334)×2.3748719720329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3748719720329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3748719720329e-05×40589641000000     		ar = 40356.8961472598m²