Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106082 / 45158
↖ ↑ ↗
← N 48.738078°
E111.362915°		 ← 201.43 m → N 48.738078°
E111.365662°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
N 48.736267°
E111.362915°		 ← 201.44 m →
40 579 m²		 N 48.736267°
E111.365662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809345245361328 y=0.344532012939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809345245361328 × 217)
    floor (0.809345245361328 × 131072)
    floor (106082.5)     		tx = 106082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344532012939453 × 217)
    floor (0.344532012939453 × 131072)
    floor (45158.5)     		ty = 45158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106082 / 45158 ti = "17/106082/45158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106082/45158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106082 ÷ 217
    106082 ÷ 131072     		x = 0.809341430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45158 ÷ 217
    45158 ÷ 131072     		y = 0.344528198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809341430664062 × 2 - 1) × π
    0.618682861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94364953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344528198242188 × 2 - 1) × π
    0.310943603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.976858140457504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94364953} λ = 1.94364953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976858140457504))-π/2
    2×atan(2.65609803169696)-π/2
    2×1.21071813172188-π/2
    2.42143626344375-1.57079632675     		φ = 0.85063994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94364953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.362915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85063994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.738078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106082 KachelY 45158 1.94364953 0.85063994 111.362915 48.738078
    Oben rechts KachelX + 1 106083 KachelY 45158 1.94369747 0.85063994 111.365662 48.738078
    Unten links KachelX 106082 KachelY + 1 45159 1.94364953 0.85060832 111.362915 48.736267
    Unten rechts KachelX + 1 106083 KachelY + 1 45159 1.94369747 0.85060832 111.365662 48.736267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85063994-0.85060832) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85063994-0.85060832) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94364953-1.94369747) × cos(0.85063994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65950223639613 × 6371000     		do = 201.428958582811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94364953-1.94369747) × cos(0.85060832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.659526004902673 × 6371000     		du = 201.43621809651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85063994)-sin(0.85060832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65950223639613-0.659526004902673)×R²
    abs(1.94369747-1.94364953)×2.37685065430648e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37685065430648e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37685065430648e-05×40589641000000     		ar = 40578.8003855786m²