Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10608 / 5614
↖ ↑ ↗
← N 81.532843°
W121.728516°		 ← 89.93 m → N 81.532843°
W121.723023°		 →
↑
89.96 m
↓
↑
89.96 m
↓
N 81.532034°
W121.728516°		 ← 89.94 m →
8 091 m²		 N 81.532034°
W121.723023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161872863769531 y=0.0856704711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161872863769531 × 216)
    floor (0.161872863769531 × 65536)
    floor (10608.5)     		tx = 10608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0856704711914062 × 216)
    floor (0.0856704711914062 × 65536)
    floor (5614.5)     		ty = 5614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10608 / 5614 ti = "16/10608/5614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10608/5614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10608 ÷ 216
    10608 ÷ 65536     		x = 0.161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5614 ÷ 216
    5614 ÷ 65536     		y = 0.085662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.67626953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12456339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085662841796875 × 2 - 1) × π
    0.82867431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.60335714456601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12456339} λ = -2.12456339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60335714456601))-π/2
    2×atan(13.5090137059474)-π/2
    2×1.49690644452285-π/2
    2.99381288904571-1.57079632675     		φ = 1.42301656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12456339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.728516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42301656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.532843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10608 KachelY 5614 -2.12456339 1.42301656 -121.728516 81.532843
    Oben rechts KachelX + 1 10609 KachelY 5614 -2.12446752 1.42301656 -121.723023 81.532843
    Unten links KachelX 10608 KachelY + 1 5615 -2.12456339 1.42300244 -121.728516 81.532034
    Unten rechts KachelX + 1 10609 KachelY + 1 5615 -2.12446752 1.42300244 -121.723023 81.532034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42301656-1.42300244) × R
    1.41199999998953e-05 × 6371000     		dl = 89.9585199993331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42301656-1.42300244) × R
    1.41199999998953e-05 × 6371000     		dr = 89.9585199993331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12456339--2.12446752) × cos(1.42301656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147242463575054 × 6371000     		do = 89.9338959763117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12456339--2.12446752) × cos(1.42300244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147256429658421 × 6371000     		du = 89.9424262892267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42301656)-sin(1.42300244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147242463575054-0.147256429658421)×R²
    abs(-2.12446752--2.12456339)×1.39660833664013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39660833664013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39660833664013e-05×40589641000000     		ar = 8090.70386733585m²