Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106079 / 100001
↖ ↑ ↗
← S 68.302920°
E111.354675°		 ← 112.92 m → S 68.302920°
E111.357422°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 68.303935°
E111.354675°		 ← 112.91 m →
12 747 m²		 S 68.303935°
E111.357422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809322357177734 y=0.762950897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809322357177734 × 217)
    floor (0.809322357177734 × 131072)
    floor (106079.5)     		tx = 106079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762950897216797 × 217)
    floor (0.762950897216797 × 131072)
    floor (100001.5)     		ty = 100001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106079 / 100001 ti = "17/106079/100001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106079/100001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106079 ÷ 217
    106079 ÷ 131072     		x = 0.809318542480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100001 ÷ 217
    100001 ÷ 131072     		y = 0.762947082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809318542480469 × 2 - 1) × π
    0.618637084960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.94350572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762947082519531 × 2 - 1) × π
    -0.525894165039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.65214524540524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94350572} λ = 1.94350572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65214524540524))-π/2
    2×atan(0.191638356035189)-π/2
    2×0.189342742371389-π/2
    0.378685484742778-1.57079632675     		φ = -1.19211084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94350572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.354675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19211084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.302920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106079 KachelY 100001 1.94350572 -1.19211084 111.354675 -68.302920
    Oben rechts KachelX + 1 106080 KachelY 100001 1.94355366 -1.19211084 111.357422 -68.302920
    Unten links KachelX 106079 KachelY + 1 100002 1.94350572 -1.19212856 111.354675 -68.303935
    Unten rechts KachelX + 1 106080 KachelY + 1 100002 1.94355366 -1.19212856 111.357422 -68.303935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19211084--1.19212856) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19211084--1.19212856) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94350572-1.94355366) × cos(-1.19211084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369699407372934 × 6371000     		do = 112.915715074366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94350572-1.94355366) × cos(-1.19212856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369682942751855 × 6371000     		du = 112.910686355289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19211084)-sin(-1.19212856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369699407372934-0.369682942751855)×R²
    abs(1.94355366-1.94350572)×1.64646210791264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64646210791264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64646210791264e-05×40589641000000     		ar = 12747.2364313664m²