Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106073 / 99993
↖ ↑ ↗
← S 68.294795°
E111.338196°		 ← 112.96 m → S 68.294795°
E111.340943°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 68.295811°
E111.338196°		 ← 112.95 m →
12 759 m²		 S 68.295811°
E111.340943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809276580810547 y=0.762889862060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809276580810547 × 217)
    floor (0.809276580810547 × 131072)
    floor (106073.5)     		tx = 106073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762889862060547 × 217)
    floor (0.762889862060547 × 131072)
    floor (99993.5)     		ty = 99993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106073 / 99993 ti = "17/106073/99993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106073/99993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106073 ÷ 217
    106073 ÷ 131072     		x = 0.809272766113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99993 ÷ 217
    99993 ÷ 131072     		y = 0.762886047363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809272766113281 × 2 - 1) × π
    0.618545532226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.94321810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762886047363281 × 2 - 1) × π
    -0.525772094726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.65176175020827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94321810} λ = 1.94321810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65176175020827))-π/2
    2×atan(0.191711862518073)-π/2
    2×0.18941364397557-π/2
    0.37882728795114-1.57079632675     		φ = -1.19196904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94321810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.338196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19196904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.294795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106073 KachelY 99993 1.94321810 -1.19196904 111.338196 -68.294795
    Oben rechts KachelX + 1 106074 KachelY 99993 1.94326604 -1.19196904 111.340943 -68.294795
    Unten links KachelX 106073 KachelY + 1 99994 1.94321810 -1.19198677 111.338196 -68.295811
    Unten rechts KachelX + 1 106074 KachelY + 1 99994 1.94326604 -1.19198677 111.340943 -68.295811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19196904--1.19198677) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19196904--1.19198677) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94321810-1.94326604) × cos(-1.19196904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369831157326032 × 6371000     		do = 112.955954901286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94321810-1.94326604) × cos(-1.19198677) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369814684342985 × 6371000     		du = 112.950923628248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19196904)-sin(-1.19198677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369831157326032-0.369814684342985)×R²
    abs(1.94326604-1.94321810)×1.64729830473553e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64729830473553e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64729830473553e-05×40589641000000     		ar = 12758.9753906634m²