Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106065 / 45105
↖ ↑ ↗
← N 48.833990°
E111.316223°		 ← 201.04 m → N 48.833990°
E111.318970°		 →
↑
201.07 m
↓
↑
201.07 m
↓
N 48.832182°
E111.316223°		 ← 201.05 m →
40 424 m²		 N 48.832182°
E111.318970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809215545654297 y=0.344127655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809215545654297 × 217)
    floor (0.809215545654297 × 131072)
    floor (106065.5)     		tx = 106065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344127655029297 × 217)
    floor (0.344127655029297 × 131072)
    floor (45105.5)     		ty = 45105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106065 / 45105 ti = "17/106065/45105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106065/45105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106065 ÷ 217
    106065 ÷ 131072     		x = 0.809211730957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45105 ÷ 217
    45105 ÷ 131072     		y = 0.344123840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809211730957031 × 2 - 1) × π
    0.618423461914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.94283460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344123840332031 × 2 - 1) × π
    0.311752319335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.979398796137367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94283460} λ = 1.94283460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979398796137367))-π/2
    2×atan(2.66285484197711)-π/2
    2×1.21155511588712-π/2
    2.42311023177423-1.57079632675     		φ = 0.85231391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94283460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.316223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85231391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.833990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106065 KachelY 45105 1.94283460 0.85231391 111.316223 48.833990
    Oben rechts KachelX + 1 106066 KachelY 45105 1.94288254 0.85231391 111.318970 48.833990
    Unten links KachelX 106065 KachelY + 1 45106 1.94283460 0.85228235 111.316223 48.832182
    Unten rechts KachelX + 1 106066 KachelY + 1 45106 1.94288254 0.85228235 111.318970 48.832182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85231391-0.85228235) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dl = 201.068760000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85231391-0.85228235) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dr = 201.068760000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94283460-1.94288254) × cos(0.85231391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658242985360681 × 6371000     		do = 201.044350903463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94283460-1.94288254) × cos(0.85228235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658266743575518 × 6371000     		du = 201.051607273811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85231391)-sin(0.85228235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658242985360681-0.658266743575518)×R²
    abs(1.94288254-1.94283460)×2.3758214837355e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3758214837355e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3758214837355e-05×40589641000000     		ar = 40424.4678592108m²