Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10606 / 5622
↖ ↑ ↗
← N 81.526370°
W121.739502°		 ← 90.01 m → N 81.526370°
W121.734009°		 →
↑
90.02 m
↓
↑
90.02 m
↓
N 81.525561°
W121.739502°		 ← 90.02 m →
8 103 m²		 N 81.525561°
W121.734009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161842346191406 y=0.0857925415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161842346191406 × 216)
    floor (0.161842346191406 × 65536)
    floor (10606.5)     		tx = 10606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0857925415039062 × 216)
    floor (0.0857925415039062 × 65536)
    floor (5622.5)     		ty = 5622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10606 / 5622 ti = "16/10606/5622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10606/5622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10606 ÷ 216
    10606 ÷ 65536     		x = 0.161834716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5622 ÷ 216
    5622 ÷ 65536     		y = 0.085784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161834716796875 × 2 - 1) × π
    -0.67633056640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.12475514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085784912109375 × 2 - 1) × π
    0.82843017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60259015417209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12475514} λ = -2.12475514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60259015417209))-π/2
    2×atan(13.4986563946905)-π/2
    2×1.49684995632213-π/2
    2.99369991264426-1.57079632675     		φ = 1.42290359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12475514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.739502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42290359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.526370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10606 KachelY 5622 -2.12475514 1.42290359 -121.739502 81.526370
    Oben rechts KachelX + 1 10607 KachelY 5622 -2.12465926 1.42290359 -121.734009 81.526370
    Unten links KachelX 10606 KachelY + 1 5623 -2.12475514 1.42288946 -121.739502 81.525561
    Unten rechts KachelX + 1 10607 KachelY + 1 5623 -2.12465926 1.42288946 -121.734009 81.525561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42290359-1.42288946) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dl = 90.0222300003606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42290359-1.42288946) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dr = 90.0222300003606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12475514--2.12465926) × cos(1.42290359) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.147354201310612 × 6371000     		do = 90.0115319547461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12475514--2.12465926) × cos(1.42288946) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.147368177049823 × 6371000     		du = 90.0200690557276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42290359)-sin(1.42288946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147354201310612-0.147368177049823)×R²
    abs(-2.12465926--2.12475514)×1.39757392115525e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.39757392115525e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.39757392115525e-05×40589641000000     		ar = 8103.42309706123m²