Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106057 / 100009
↖ ↑ ↗
← S 68.311042°
E111.294251°		 ← 112.88 m → S 68.311042°
E111.296997°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 68.312057°
E111.294251°		 ← 112.87 m →
12 743 m²		 S 68.312057°
E111.296997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809154510498047 y=0.763011932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809154510498047 × 217)
    floor (0.809154510498047 × 131072)
    floor (106057.5)     		tx = 106057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763011932373047 × 217)
    floor (0.763011932373047 × 131072)
    floor (100009.5)     		ty = 100009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106057 / 100009 ti = "17/106057/100009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106057/100009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106057 ÷ 217
    106057 ÷ 131072     		x = 0.809150695800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100009 ÷ 217
    100009 ÷ 131072     		y = 0.763008117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809150695800781 × 2 - 1) × π
    0.618301391601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.94245111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763008117675781 × 2 - 1) × π
    -0.526016235351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.6525287406022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94245111} λ = 1.94245111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6525287406022))-π/2
    2×atan(0.191564877736284)-π/2
    2×0.189271866026729-π/2
    0.378543732053458-1.57079632675     		φ = -1.19225259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94245111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.294251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19225259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.311042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106057 KachelY 100009 1.94245111 -1.19225259 111.294251 -68.311042
    Oben rechts KachelX + 1 106058 KachelY 100009 1.94249905 -1.19225259 111.296997 -68.311042
    Unten links KachelX 106057 KachelY + 1 100010 1.94245111 -1.19227031 111.294251 -68.312057
    Unten rechts KachelX + 1 106058 KachelY + 1 100010 1.94249905 -1.19227031 111.296997 -68.312057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19225259--1.19227031) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19225259--1.19227031) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94245111-1.94249905) × cos(-1.19225259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369567696446393 × 6371000     		do = 112.875487167161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94245111-1.94249905) × cos(-1.19227031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369551230896885 × 6371000     		du = 112.870458164518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19225259)-sin(-1.19227031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369567696446393-0.369551230896885)×R²
    abs(1.94249905-1.94245111)×1.64655495077382e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64655495077382e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64655495077382e-05×40589641000000     		ar = 12742.6949212034m²