Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106042 / 43482
↖ ↑ ↗
← N 51.682774°
E111.253052°		 ← 189.33 m → N 51.682774°
E111.255798°		 →
↑
189.35 m
↓
↑
189.35 m
↓
N 51.681071°
E111.253052°		 ← 189.34 m →
35 849 m²		 N 51.681071°
E111.255798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809040069580078 y=0.331745147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809040069580078 × 217)
    floor (0.809040069580078 × 131072)
    floor (106042.5)     		tx = 106042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331745147705078 × 217)
    floor (0.331745147705078 × 131072)
    floor (43482.5)     		ty = 43482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106042 / 43482 ti = "17/106042/43482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106042/43482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106042 ÷ 217
    106042 ÷ 131072     		x = 0.809036254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43482 ÷ 217
    43482 ÷ 131072     		y = 0.331741333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809036254882812 × 2 - 1) × π
    0.618072509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94173206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331741333007812 × 2 - 1) × π
    0.336517333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05720038422072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94173206} λ = 1.94173206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05720038422072))-π/2
    2×atan(2.87830156042229)-π/2
    2×1.23641544836116-π/2
    2.47283089672232-1.57079632675     		φ = 0.90203457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94173206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.253052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90203457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.682774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106042 KachelY 43482 1.94173206 0.90203457 111.253052 51.682774
    Oben rechts KachelX + 1 106043 KachelY 43482 1.94177999 0.90203457 111.255798 51.682774
    Unten links KachelX 106042 KachelY + 1 43483 1.94173206 0.90200485 111.253052 51.681071
    Unten rechts KachelX + 1 106043 KachelY + 1 43483 1.94177999 0.90200485 111.255798 51.681071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90203457-0.90200485) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dl = 189.346120000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90203457-0.90200485) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dr = 189.346120000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94173206-1.94177999) × cos(0.90203457) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.620014949370636 × 6371000     		do = 189.329023569403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94173206-1.94177999) × cos(0.90200485) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.620038267111504 × 6371000     		du = 189.33614392209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90203457)-sin(0.90200485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620014949370636-0.620038267111504)×R²
    abs(1.94177999-1.94173206)×2.33177408686114e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.33177408686114e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.33177408686114e-05×40589641000000     		ar = 35849.3901244177m²