Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106041 / 43481
↖ ↑ ↗
← N 51.684477°
E111.250305°		 ← 189.36 m → N 51.684477°
E111.253052°		 →
↑
189.35 m
↓
↑
189.35 m
↓
N 51.682774°
E111.250305°		 ← 189.37 m →
35 856 m²		 N 51.682774°
E111.253052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809032440185547 y=0.331737518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809032440185547 × 217)
    floor (0.809032440185547 × 131072)
    floor (106041.5)     		tx = 106041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331737518310547 × 217)
    floor (0.331737518310547 × 131072)
    floor (43481.5)     		ty = 43481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106041 / 43481 ti = "17/106041/43481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106041/43481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106041 ÷ 217
    106041 ÷ 131072     		x = 0.809028625488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43481 ÷ 217
    43481 ÷ 131072     		y = 0.331733703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809028625488281 × 2 - 1) × π
    0.618057250976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.94168412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331733703613281 × 2 - 1) × π
    0.336532592773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.05724832112034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94168412} λ = 1.94168412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05724832112034))-π/2
    2×atan(2.87843954058241)-π/2
    2×1.2364303088789-π/2
    2.47286061775779-1.57079632675     		φ = 0.90206429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94168412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.250305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90206429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.684477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106041 KachelY 43481 1.94168412 0.90206429 111.250305 51.684477
    Oben rechts KachelX + 1 106042 KachelY 43481 1.94173206 0.90206429 111.253052 51.684477
    Unten links KachelX 106041 KachelY + 1 43482 1.94168412 0.90203457 111.250305 51.682774
    Unten rechts KachelX + 1 106042 KachelY + 1 43482 1.94173206 0.90203457 111.253052 51.682774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90206429-0.90203457) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dl = 189.346120000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90206429-0.90203457) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dr = 189.346120000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94168412-1.94173206) × cos(0.90206429) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.619991631082121 × 6371000     		do = 189.361402717817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94168412-1.94173206) × cos(0.90203457) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.620014949370636 × 6371000     		du = 189.368524723342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90206429)-sin(0.90203457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619991631082121-0.620014949370636)×R²
    abs(1.94173206-1.94168412)×2.331828851454e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.331828851454e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.331828851454e-05×40589641000000     		ar = 35855.5211471774m²