Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106040 / 43495
↖ ↑ ↗
← N 51.660630°
E111.247558°		 ← 189.46 m → N 51.660630°
E111.250305°		 →
↑
189.41 m
↓
↑
189.41 m
↓
N 51.658927°
E111.247558°		 ← 189.47 m →
35 886 m²		 N 51.658927°
E111.250305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809024810791016 y=0.331844329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809024810791016 × 217)
    floor (0.809024810791016 × 131072)
    floor (106040.5)     		tx = 106040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331844329833984 × 217)
    floor (0.331844329833984 × 131072)
    floor (43495.5)     		ty = 43495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106040 / 43495 ti = "17/106040/43495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106040/43495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106040 ÷ 217
    106040 ÷ 131072     		x = 0.80902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43495 ÷ 217
    43495 ÷ 131072     		y = 0.331840515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80902099609375 × 2 - 1) × π
    0.6180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94163618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331840515136719 × 2 - 1) × π
    0.336318969726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.05657720452566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94163618} λ = 1.94163618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05657720452566))-π/2
    2×atan(2.87650842011591)-π/2
    2×1.23622221076541-π/2
    2.47244442153082-1.57079632675     		φ = 0.90164809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94163618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.247558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90164809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.660630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106040 KachelY 43495 1.94163618 0.90164809 111.247558 51.660630
    Oben rechts KachelX + 1 106041 KachelY 43495 1.94168412 0.90164809 111.250305 51.660630
    Unten links KachelX 106040 KachelY + 1 43496 1.94163618 0.90161836 111.247558 51.658927
    Unten rechts KachelX + 1 106041 KachelY + 1 43496 1.94168412 0.90161836 111.250305 51.658927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90164809-0.90161836) × R
    2.97300000000611e-05 × 6371000     		dl = 189.409830000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90164809-0.90161836) × R
    2.97300000000611e-05 × 6371000     		dr = 189.409830000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94163618-1.94168412) × cos(0.90164809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620318131400101 × 6371000     		do = 189.461124318169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94163618-1.94168412) × cos(0.90161836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620341449860806 × 6371000     		du = 189.468246376285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90164809)-sin(0.90161836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620318131400101-0.620341449860806)×R²
    abs(1.94168412-1.94163618)×2.33184607054682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33184607054682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33184607054682e-05×40589641000000     		ar = 35886.4738453686m²