Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106040 / 43483
↖ ↑ ↗
← N 51.681071°
E111.247558°		 ← 189.38 m → N 51.681071°
E111.250305°		 →
↑
189.41 m
↓
↑
189.41 m
↓
N 51.679368°
E111.247558°		 ← 189.38 m →
35 870 m²		 N 51.679368°
E111.250305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809024810791016 y=0.331752777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809024810791016 × 217)
    floor (0.809024810791016 × 131072)
    floor (106040.5)     		tx = 106040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331752777099609 × 217)
    floor (0.331752777099609 × 131072)
    floor (43483.5)     		ty = 43483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106040 / 43483 ti = "17/106040/43483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106040/43483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106040 ÷ 217
    106040 ÷ 131072     		x = 0.80902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43483 ÷ 217
    43483 ÷ 131072     		y = 0.331748962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80902099609375 × 2 - 1) × π
    0.6180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94163618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331748962402344 × 2 - 1) × π
    0.336502075195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.0571524473211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94163618} λ = 1.94163618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0571524473211))-π/2
    2×atan(2.87816358687635)-π/2
    2×1.2364005872845-π/2
    2.472801174569-1.57079632675     		φ = 0.90200485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94163618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.247558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90200485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.681071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106040 KachelY 43483 1.94163618 0.90200485 111.247558 51.681071
    Oben rechts KachelX + 1 106041 KachelY 43483 1.94168412 0.90200485 111.250305 51.681071
    Unten links KachelX 106040 KachelY + 1 43484 1.94163618 0.90197512 111.247558 51.679368
    Unten rechts KachelX + 1 106041 KachelY + 1 43484 1.94168412 0.90197512 111.250305 51.679368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90200485-0.90197512) × R
    2.97299999999501e-05 × 6371000     		dl = 189.409829999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90200485-0.90197512) × R
    2.97299999999501e-05 × 6371000     		dr = 189.409829999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94163618-1.94168412) × cos(0.90200485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620038267111504 × 6371000     		do = 189.375646560725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94163618-1.94168412) × cos(0.90197512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620061592150238 × 6371000     		du = 189.38277062794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90200485)-sin(0.90197512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620038267111504-0.620061592150238)×R²
    abs(1.94168412-1.94163618)×2.33250387337014e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33250387337014e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33250387337014e-05×40589641000000     		ar = 35870.2837080007m²