Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106039 / 43497
↖ ↑ ↗
← N 51.657223°
E111.244812°		 ← 189.44 m → N 51.657223°
E111.247558°		 →
↑
189.47 m
↓
↑
189.47 m
↓
N 51.655519°
E111.244812°		 ← 189.44 m →
35 894 m²		 N 51.655519°
E111.247558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809017181396484 y=0.331859588623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809017181396484 × 217)
    floor (0.809017181396484 × 131072)
    floor (106039.5)     		tx = 106039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331859588623047 × 217)
    floor (0.331859588623047 × 131072)
    floor (43497.5)     		ty = 43497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106039 / 43497 ti = "17/106039/43497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106039/43497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106039 ÷ 217
    106039 ÷ 131072     		x = 0.809013366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43497 ÷ 217
    43497 ÷ 131072     		y = 0.331855773925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809013366699219 × 2 - 1) × π
    0.618026733398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.94158825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331855773925781 × 2 - 1) × π
    0.336288452148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.05648133072642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94158825} λ = 1.94158825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05648133072642))-π/2
    2×atan(2.87623265154483)-π/2
    2×1.23619247351952-π/2
    2.47238494703905-1.57079632675     		φ = 0.90158862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94158825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.244812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90158862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.657223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106039 KachelY 43497 1.94158825 0.90158862 111.244812 51.657223
    Oben rechts KachelX + 1 106040 KachelY 43497 1.94163618 0.90158862 111.247558 51.657223
    Unten links KachelX 106039 KachelY + 1 43498 1.94158825 0.90155888 111.244812 51.655519
    Unten rechts KachelX + 1 106040 KachelY + 1 43498 1.94163618 0.90155888 111.247558 51.655519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90158862-0.90155888) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dl = 189.473540000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90158862-0.90155888) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dr = 189.473540000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94158825-1.94163618) × cos(0.90158862) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.620364775616343 × 6371000     		do = 189.435847222817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94158825-1.94163618) × cos(0.90155888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.620388100823187 × 6371000     		du = 189.442969855329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90158862)-sin(0.90155888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620364775616343-0.620388100823187)×R²
    abs(1.94163618-1.94158825)×2.33252068441159e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33252068441159e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33252068441159e-05×40589641000000     		ar = 35893.7553540308m²