Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106033 / 43543
↖ ↑ ↗
← N 51.578776°
E111.228332°		 ← 189.80 m → N 51.578776°
E111.231079°		 →
↑
189.79 m
↓
↑
189.79 m
↓
N 51.577069°
E111.228332°		 ← 189.81 m →
36 024 m²		 N 51.577069°
E111.231079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808971405029297 y=0.332210540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808971405029297 × 217)
    floor (0.808971405029297 × 131072)
    floor (106033.5)     		tx = 106033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332210540771484 × 217)
    floor (0.332210540771484 × 131072)
    floor (43543.5)     		ty = 43543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106033 / 43543 ti = "17/106033/43543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106033/43543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106033 ÷ 217
    106033 ÷ 131072     		x = 0.808967590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43543 ÷ 217
    43543 ÷ 131072     		y = 0.332206726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808967590332031 × 2 - 1) × π
    0.617935180664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.94130062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332206726074219 × 2 - 1) × π
    0.335586547851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.0542762333439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94130062} λ = 1.94130062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0542762333439))-π/2
    2×atan(2.86989726609145)-π/2
    2×1.23550789955146-π/2
    2.47101579910293-1.57079632675     		φ = 0.90021947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94130062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.228332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90021947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.578776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106033 KachelY 43543 1.94130062 0.90021947 111.228332 51.578776
    Oben rechts KachelX + 1 106034 KachelY 43543 1.94134856 0.90021947 111.231079 51.578776
    Unten links KachelX 106033 KachelY + 1 43544 1.94130062 0.90018968 111.228332 51.577069
    Unten rechts KachelX + 1 106034 KachelY + 1 43544 1.94134856 0.90018968 111.231079 51.577069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90021947-0.90018968) × R
    2.97900000000295e-05 × 6371000     		dl = 189.792090000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90021947-0.90018968) × R
    2.97900000000295e-05 × 6371000     		dr = 189.792090000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94130062-1.94134856) × cos(0.90021947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62143803654462 × 6371000     		do = 189.803172175663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94130062-1.94134856) × cos(0.90018968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621461375641039 × 6371000     		du = 189.810300536458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90021947)-sin(0.90018968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62143803654462-0.621461375641039)×R²
    abs(1.94134856-1.94130062)×2.33390964196056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33390964196056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33390964196056e-05×40589641000000     		ar = 36023.8171918742m²