Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106032 / 45167
↖ ↑ ↗
← N 48.721773°
E111.225586°		 ← 201.45 m → N 48.721773°
E111.228332°		 →
↑
201.51 m
↓
↑
201.51 m
↓
N 48.719961°
E111.225586°		 ← 201.46 m →
40 596 m²		 N 48.719961°
E111.228332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808963775634766 y=0.344600677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808963775634766 × 217)
    floor (0.808963775634766 × 131072)
    floor (106032.5)     		tx = 106032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344600677490234 × 217)
    floor (0.344600677490234 × 131072)
    floor (45167.5)     		ty = 45167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106032 / 45167 ti = "17/106032/45167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106032/45167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106032 ÷ 217
    106032 ÷ 131072     		x = 0.8089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45167 ÷ 217
    45167 ÷ 131072     		y = 0.344596862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8089599609375 × 2 - 1) × π
    0.617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94125269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344596862792969 × 2 - 1) × π
    0.310806274414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.976426708360924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94125269} λ = 1.94125269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976426708360924))-π/2
    2×atan(2.65495235291349)-π/2
    2×1.21057584343557-π/2
    2.42115168687113-1.57079632675     		φ = 0.85035536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94125269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.225586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85035536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.721773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106032 KachelY 45167 1.94125269 0.85035536 111.225586 48.721773
    Oben rechts KachelX + 1 106033 KachelY 45167 1.94130062 0.85035536 111.228332 48.721773
    Unten links KachelX 106032 KachelY + 1 45168 1.94125269 0.85032373 111.225586 48.719961
    Unten rechts KachelX + 1 106033 KachelY + 1 45168 1.94130062 0.85032373 111.228332 48.719961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85035536-0.85032373) × R
    3.16299999999492e-05 × 6371000     		dl = 201.514729999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85035536-0.85032373) × R
    3.16299999999492e-05 × 6371000     		dr = 201.514729999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94125269-1.94130062) × cos(0.85035536) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659716129214254 × 6371000     		do = 201.45225644073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94125269-1.94130062) × cos(0.85032373) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65973989930019 × 6371000     		du = 201.459514922425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85035536)-sin(0.85032373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659716129214254-0.65973989930019)×R²
    abs(1.94130062-1.94125269)×2.37700859360146e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37700859360146e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37700859360146e-05×40589641000000     		ar = 40596.3284134484m²