Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106025 / 43513
↖ ↑ ↗
← N 51.629952°
E111.206360°		 ← 189.59 m → N 51.629952°
E111.209107°		 →
↑
189.54 m
↓
↑
189.54 m
↓
N 51.628248°
E111.206360°		 ← 189.60 m →
35 935 m²		 N 51.628248°
E111.209107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808910369873047 y=0.331981658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808910369873047 × 217)
    floor (0.808910369873047 × 131072)
    floor (106025.5)     		tx = 106025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331981658935547 × 217)
    floor (0.331981658935547 × 131072)
    floor (43513.5)     		ty = 43513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106025 / 43513 ti = "17/106025/43513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106025/43513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106025 ÷ 217
    106025 ÷ 131072     		x = 0.808906555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43513 ÷ 217
    43513 ÷ 131072     		y = 0.331977844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808906555175781 × 2 - 1) × π
    0.617813110351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.94091713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331977844238281 × 2 - 1) × π
    0.336044311523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.0557143403325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94091713} λ = 1.94091713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0557143403325))-π/2
    2×atan(2.87402745452099)-π/2
    2×1.23595449504467-π/2
    2.47190899008935-1.57079632675     		φ = 0.90111266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94091713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.206360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90111266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.629952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106025 KachelY 43513 1.94091713 0.90111266 111.206360 51.629952
    Oben rechts KachelX + 1 106026 KachelY 43513 1.94096507 0.90111266 111.209107 51.629952
    Unten links KachelX 106025 KachelY + 1 43514 1.94091713 0.90108291 111.206360 51.628248
    Unten rechts KachelX + 1 106026 KachelY + 1 43514 1.94096507 0.90108291 111.209107 51.628248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90111266-0.90108291) × R
    2.97500000000506e-05 × 6371000     		dl = 189.537250000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90111266-0.90108291) × R
    2.97500000000506e-05 × 6371000     		dr = 189.537250000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94091713-1.94096507) × cos(0.90111266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620738007150889 × 6371000     		do = 189.589365180061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94091713-1.94096507) × cos(0.90108291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620761331413628 × 6371000     		du = 189.596489010268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90111266)-sin(0.90108291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620738007150889-0.620761331413628)×R²
    abs(1.94096507-1.94091713)×2.33242627387664e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33242627387664e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33242627387664e-05×40589641000000     		ar = 35934.9220237552m²