Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106023 / 43622
↖ ↑ ↗
← N 51.443736°
E111.200866°		 ← 190.37 m → N 51.443736°
E111.203613°		 →
↑
190.30 m
↓
↑
190.30 m
↓
N 51.442025°
E111.200866°		 ← 190.37 m →
36 228 m²		 N 51.442025°
E111.203613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808895111083984 y=0.332813262939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808895111083984 × 217)
    floor (0.808895111083984 × 131072)
    floor (106023.5)     		tx = 106023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332813262939453 × 217)
    floor (0.332813262939453 × 131072)
    floor (43622.5)     		ty = 43622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106023 / 43622 ti = "17/106023/43622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106023/43622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106023 ÷ 217
    106023 ÷ 131072     		x = 0.808891296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43622 ÷ 217
    43622 ÷ 131072     		y = 0.332809448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808891296386719 × 2 - 1) × π
    0.617782592773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.94082125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332809448242188 × 2 - 1) × π
    0.334381103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05048921827391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94082125} λ = 1.94082125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05048921827391))-π/2
    2×atan(2.85904947523363)-π/2
    2×1.23432945568921-π/2
    2.46865891137842-1.57079632675     		φ = 0.89786258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94082125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.200866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89786258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.443736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106023 KachelY 43622 1.94082125 0.89786258 111.200866 51.443736
    Oben rechts KachelX + 1 106024 KachelY 43622 1.94086919 0.89786258 111.203613 51.443736
    Unten links KachelX 106023 KachelY + 1 43623 1.94082125 0.89783271 111.200866 51.442025
    Unten rechts KachelX + 1 106024 KachelY + 1 43623 1.94086919 0.89783271 111.203613 51.442025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89786258-0.89783271) × R
    2.98699999999874e-05 × 6371000     		dl = 190.30176999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89786258-0.89783271) × R
    2.98699999999874e-05 × 6371000     		dr = 190.30176999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94082125-1.94086919) × cos(0.89786258) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623282845666983 × 6371000     		do = 190.366624367019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94082125-1.94086919) × cos(0.89783271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623306203623777 × 6371000     		du = 190.373758488258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89786258)-sin(0.89783271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623282845666983-0.623306203623777)×R²
    abs(1.94086919-1.94082125)×2.335795679409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.335795679409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.335795679409e-05×40589641000000     		ar = 36227.7843865158m²