Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106022 / 43623
↖ ↑ ↗
← N 51.442025°
E111.198120°		 ← 190.33 m → N 51.442025°
E111.200866°		 →
↑
190.37 m
↓
↑
190.37 m
↓
N 51.440313°
E111.198120°		 ← 190.34 m →
36 234 m²		 N 51.440313°
E111.200866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808887481689453 y=0.332820892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808887481689453 × 217)
    floor (0.808887481689453 × 131072)
    floor (106022.5)     		tx = 106022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332820892333984 × 217)
    floor (0.332820892333984 × 131072)
    floor (43623.5)     		ty = 43623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106022 / 43623 ti = "17/106022/43623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106022/43623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106022 ÷ 217
    106022 ÷ 131072     		x = 0.808883666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43623 ÷ 217
    43623 ÷ 131072     		y = 0.332817077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808883666992188 × 2 - 1) × π
    0.617767333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94077332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332817077636719 × 2 - 1) × π
    0.334365844726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.05044128137429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94077332} λ = 1.94077332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05044128137429))-π/2
    2×atan(2.85891242455085)-π/2
    2×1.23431451628568-π/2
    2.46862903257137-1.57079632675     		φ = 0.89783271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94077332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.198120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89783271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.442025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106022 KachelY 43623 1.94077332 0.89783271 111.198120 51.442025
    Oben rechts KachelX + 1 106023 KachelY 43623 1.94082125 0.89783271 111.200866 51.442025
    Unten links KachelX 106022 KachelY + 1 43624 1.94077332 0.89780283 111.198120 51.440313
    Unten rechts KachelX + 1 106023 KachelY + 1 43624 1.94082125 0.89780283 111.200866 51.440313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89783271-0.89780283) × R
    2.98799999999266e-05 × 6371000     		dl = 190.365479999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89783271-0.89780283) × R
    2.98799999999266e-05 × 6371000     		dr = 190.365479999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94077332-1.94082125) × cos(0.89783271) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.623306203623777 × 6371000     		do = 190.334047650267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94077332-1.94082125) × cos(0.89780283) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.623329568844039 × 6371000     		du = 190.341182501357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89783271)-sin(0.89780283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623306203623777-0.623329568844039)×R²
    abs(1.94082125-1.94077332)×2.33652202620283e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33652202620283e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33652202620283e-05×40589641000000     		ar = 36233.7114586531m²