Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106019 / 43533
↖ ↑ ↗
← N 51.595841°
E111.189881°		 ← 189.69 m → N 51.595841°
E111.192627°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
N 51.594136°
E111.189881°		 ← 189.70 m →
35 979 m²		 N 51.594136°
E111.192627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808864593505859 y=0.332134246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808864593505859 × 217)
    floor (0.808864593505859 × 131072)
    floor (106019.5)     		tx = 106019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332134246826172 × 217)
    floor (0.332134246826172 × 131072)
    floor (43533.5)     		ty = 43533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106019 / 43533 ti = "17/106019/43533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106019/43533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106019 ÷ 217
    106019 ÷ 131072     		x = 0.808860778808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43533 ÷ 217
    43533 ÷ 131072     		y = 0.332130432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808860778808594 × 2 - 1) × π
    0.617721557617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.94062951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332130432128906 × 2 - 1) × π
    0.335739135742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.0547556023401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94062951} λ = 1.94062951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0547556023401))-π/2
    2×atan(2.87127333565929)-π/2
    2×1.23565682064597-π/2
    2.47131364129193-1.57079632675     		φ = 0.90051731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94062951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.189881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90051731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.595841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106019 KachelY 43533 1.94062951 0.90051731 111.189881 51.595841
    Oben rechts KachelX + 1 106020 KachelY 43533 1.94067744 0.90051731 111.192627 51.595841
    Unten links KachelX 106019 KachelY + 1 43534 1.94062951 0.90048754 111.189881 51.594136
    Unten rechts KachelX + 1 106020 KachelY + 1 43534 1.94067744 0.90048754 111.192627 51.594136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90051731-0.90048754) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90051731-0.90048754) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94062951-1.94067744) × cos(0.90051731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.621204662270712 × 6371000     		do = 189.692316716565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94062951-1.94067744) × cos(0.90048754) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.621227991207407 × 6371000     		du = 189.699440488032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90051731)-sin(0.90048754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621204662270712-0.621227991207407)×R²
    abs(1.94067744-1.94062951)×2.33289366948775e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33289366948775e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33289366948775e-05×40589641000000     		ar = 35978.6062180558m²