Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106018 / 43532
↖ ↑ ↗
← N 51.597548°
E111.187134°		 ← 189.72 m → N 51.597548°
E111.189881°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
N 51.595841°
E111.187134°		 ← 189.73 m →
35 997 m²		 N 51.595841°
E111.189881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808856964111328 y=0.332126617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808856964111328 × 217)
    floor (0.808856964111328 × 131072)
    floor (106018.5)     		tx = 106018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332126617431641 × 217)
    floor (0.332126617431641 × 131072)
    floor (43532.5)     		ty = 43532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106018 / 43532 ti = "17/106018/43532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106018/43532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106018 ÷ 217
    106018 ÷ 131072     		x = 0.808853149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43532 ÷ 217
    43532 ÷ 131072     		y = 0.332122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808853149414062 × 2 - 1) × π
    0.617706298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94058157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332122802734375 × 2 - 1) × π
    0.33575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05480353923972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94058157} λ = 1.94058157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05480353923972))-π/2
    2×atan(2.87141097890003)-π/2
    2×1.23567170967899-π/2
    2.47134341935798-1.57079632675     		φ = 0.90054709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94058157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.187134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90054709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.597548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106018 KachelY 43532 1.94058157 0.90054709 111.187134 51.597548
    Oben rechts KachelX + 1 106019 KachelY 43532 1.94062951 0.90054709 111.189881 51.597548
    Unten links KachelX 106018 KachelY + 1 43533 1.94058157 0.90051731 111.187134 51.595841
    Unten rechts KachelX + 1 106019 KachelY + 1 43533 1.94062951 0.90051731 111.189881 51.595841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90054709-0.90051731) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90054709-0.90051731) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94058157-1.94062951) × cos(0.90054709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621181324946804 × 6371000     		do = 189.724765845934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94058157-1.94062951) × cos(0.90051731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621204662270712 × 6371000     		du = 189.731893665358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90054709)-sin(0.90051731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621181324946804-0.621204662270712)×R²
    abs(1.94062951-1.94058157)×2.33373239079127e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33373239079127e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33373239079127e-05×40589641000000     		ar = 35996.8486473891m²