Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106015 / 43531
↖ ↑ ↗
← N 51.599254°
E111.178894°		 ← 189.72 m → N 51.599254°
E111.181641°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
N 51.597548°
E111.178894°		 ← 189.72 m →
35 995 m²		 N 51.597548°
E111.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808834075927734 y=0.332118988037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808834075927734 × 217)
    floor (0.808834075927734 × 131072)
    floor (106015.5)     		tx = 106015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332118988037109 × 217)
    floor (0.332118988037109 × 131072)
    floor (43531.5)     		ty = 43531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106015 / 43531 ti = "17/106015/43531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106015/43531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106015 ÷ 217
    106015 ÷ 131072     		x = 0.808830261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43531 ÷ 217
    43531 ÷ 131072     		y = 0.332115173339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808830261230469 × 2 - 1) × π
    0.617660522460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.94043776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332115173339844 × 2 - 1) × π
    0.335769653320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.05485147613934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94043776} λ = 1.94043776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05485147613934))-π/2
    2×atan(2.87154862873912)-π/2
    2×1.23568659815269-π/2
    2.47137319630538-1.57079632675     		φ = 0.90057687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94043776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.178894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90057687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.599254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106015 KachelY 43531 1.94043776 0.90057687 111.178894 51.599254
    Oben rechts KachelX + 1 106016 KachelY 43531 1.94048570 0.90057687 111.181641 51.599254
    Unten links KachelX 106015 KachelY + 1 43532 1.94043776 0.90054709 111.178894 51.597548
    Unten rechts KachelX + 1 106016 KachelY + 1 43532 1.94048570 0.90054709 111.181641 51.597548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90057687-0.90054709) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90057687-0.90054709) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94043776-1.94048570) × cos(0.90057687) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621157987072002 × 6371000     		do = 189.717637858252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94043776-1.94048570) × cos(0.90054709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621181324946804 × 6371000     		du = 189.724765845934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90057687)-sin(0.90054709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621157987072002-0.621181324946804)×R²
    abs(1.94048570-1.94043776)×2.33378748016877e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33378748016877e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33378748016877e-05×40589641000000     		ar = 35995.4962817554m²