Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106009 / 100057
↖ ↑ ↗
← S 68.359712°
E111.162415°		 ← 112.63 m → S 68.359712°
E111.165161°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
S 68.360725°
E111.162415°		 ← 112.63 m →
12 687 m²		 S 68.360725°
E111.165161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808788299560547 y=0.763378143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808788299560547 × 217)
    floor (0.808788299560547 × 131072)
    floor (106009.5)     		tx = 106009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763378143310547 × 217)
    floor (0.763378143310547 × 131072)
    floor (100057.5)     		ty = 100057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106009 / 100057 ti = "17/106009/100057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106009/100057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106009 ÷ 217
    106009 ÷ 131072     		x = 0.808784484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100057 ÷ 217
    100057 ÷ 131072     		y = 0.763374328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808784484863281 × 2 - 1) × π
    0.617568969726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.94015014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763374328613281 × 2 - 1) × π
    -0.526748657226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.65482971178396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94015014} λ = 1.94015014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65482971178396))-π/2
    2×atan(0.191124599201539)-π/2
    2×0.188847137984536-π/2
    0.377694275969071-1.57079632675     		φ = -1.19310205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94015014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.162415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19310205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.359712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106009 KachelY 100057 1.94015014 -1.19310205 111.162415 -68.359712
    Oben rechts KachelX + 1 106010 KachelY 100057 1.94019808 -1.19310205 111.165161 -68.359712
    Unten links KachelX 106009 KachelY + 1 100058 1.94015014 -1.19311973 111.162415 -68.360725
    Unten rechts KachelX + 1 106010 KachelY + 1 100058 1.94019808 -1.19311973 111.165161 -68.360725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19310205--1.19311973) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dl = 112.639280000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19310205--1.19311973) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dr = 112.639280000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94015014-1.94019808) × cos(-1.19310205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368778241737401 × 6371000     		do = 112.634367378471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94015014-1.94019808) × cos(-1.19311973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368761807812024 × 6371000     		du = 112.629348034651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19310205)-sin(-1.19311973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368778241737401-0.368761807812024)×R²
    abs(1.94019808-1.94015014)×1.64339253775347e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64339253775347e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64339253775347e-05×40589641000000     		ar = 12686.7713575084m²