Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106008 / 52712
↖ ↑ ↗
← N 33.192731°
E111.159668°		 ← 255.59 m → N 33.192731°
E111.162415°		 →
↑
255.54 m
↓
↑
255.54 m
↓
N 33.190433°
E111.159668°		 ← 255.60 m →
65 315 m²		 N 33.190433°
E111.162415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808780670166016 y=0.402164459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808780670166016 × 217)
    floor (0.808780670166016 × 131072)
    floor (106008.5)     		tx = 106008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402164459228516 × 217)
    floor (0.402164459228516 × 131072)
    floor (52712.5)     		ty = 52712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106008 / 52712 ti = "17/106008/52712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106008/52712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106008 ÷ 217
    106008 ÷ 131072     		x = 0.80877685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52712 ÷ 217
    52712 ÷ 131072     		y = 0.40216064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80877685546875 × 2 - 1) × π
    0.6175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94010220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40216064453125 × 2 - 1) × π
    0.1956787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.6147428007276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94010220} λ = 1.94010220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.6147428007276))-π/2
    2×atan(1.84918093040023)-π/2
    2×1.07505938472253-π/2
    2.15011876944507-1.57079632675     		φ = 0.57932244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94010220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.159668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57932244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.192731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106008 KachelY 52712 1.94010220 0.57932244 111.159668 33.192731
    Oben rechts KachelX + 1 106009 KachelY 52712 1.94015014 0.57932244 111.162415 33.192731
    Unten links KachelX 106008 KachelY + 1 52713 1.94010220 0.57928233 111.159668 33.190433
    Unten rechts KachelX + 1 106009 KachelY + 1 52713 1.94015014 0.57928233 111.162415 33.190433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57932244-0.57928233) × R
    4.01100000000376e-05 × 6371000     		dl = 255.54081000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57932244-0.57928233) × R
    4.01100000000376e-05 × 6371000     		dr = 255.54081000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94010220-1.94015014) × cos(0.57932244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8368337769806 × 6371000     		do = 255.590575591127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94010220-1.94015014) × cos(0.57928233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.836855734810012 × 6371000     		du = 255.597282077424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57932244)-sin(0.57928233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8368337769806-0.836855734810012)×R²
    abs(1.94015014-1.94010220)×2.1957829412611e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1957829412611e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1957829412611e-05×40589641000000     		ar = 65314.6796142194m²