Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106005 / 44879
↖ ↑ ↗
← N 49.240914°
E111.151428°		 ← 199.41 m → N 49.240914°
E111.154175°		 →
↑
199.41 m
↓
↑
199.41 m
↓
N 49.239121°
E111.151428°		 ← 199.41 m →
39 765 m²		 N 49.239121°
E111.154175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808757781982422 y=0.342403411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808757781982422 × 217)
    floor (0.808757781982422 × 131072)
    floor (106005.5)     		tx = 106005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342403411865234 × 217)
    floor (0.342403411865234 × 131072)
    floor (44879.5)     		ty = 44879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106005 / 44879 ti = "17/106005/44879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106005/44879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106005 ÷ 217
    106005 ÷ 131072     		x = 0.808753967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44879 ÷ 217
    44879 ÷ 131072     		y = 0.342399597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808753967285156 × 2 - 1) × π
    0.617507934570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.93995839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342399597167969 × 2 - 1) × π
    0.315200805664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.9902325354515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93995839} λ = 1.93995839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.9902325354515))-π/2
    2×atan(2.69186035253923)-π/2
    2×1.21510620184786-π/2
    2.43021240369571-1.57079632675     		φ = 0.85941608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93995839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.151428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85941608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.240914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106005 KachelY 44879 1.93995839 0.85941608 111.151428 49.240914
    Oben rechts KachelX + 1 106006 KachelY 44879 1.94000633 0.85941608 111.154175 49.240914
    Unten links KachelX 106005 KachelY + 1 44880 1.93995839 0.85938478 111.151428 49.239121
    Unten rechts KachelX + 1 106006 KachelY + 1 44880 1.94000633 0.85938478 111.154175 49.239121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85941608-0.85938478) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dl = 199.412300000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85941608-0.85938478) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dr = 199.412300000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93995839-1.94000633) × cos(0.85941608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652879876339857 × 6371000     		do = 199.406319362079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93995839-1.94000633) × cos(0.85938478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652903584563817 × 6371000     		du = 199.413560463926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85941608)-sin(0.85938478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652879876339857-0.652903584563817)×R²
    abs(1.94000633-1.93995839)×2.37082239603614e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37082239603614e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37082239603614e-05×40589641000000     		ar = 39764.7947641739m²