Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106003 / 43516
↖ ↑ ↗
← N 51.624837°
E111.145935°		 ← 189.57 m → N 51.624837°
E111.148681°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
N 51.623132°
E111.145935°		 ← 189.58 m →
35 944 m²		 N 51.623132°
E111.148681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808742523193359 y=0.332004547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808742523193359 × 217)
    floor (0.808742523193359 × 131072)
    floor (106003.5)     		tx = 106003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332004547119141 × 217)
    floor (0.332004547119141 × 131072)
    floor (43516.5)     		ty = 43516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106003 / 43516 ti = "17/106003/43516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106003/43516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106003 ÷ 217
    106003 ÷ 131072     		x = 0.808738708496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43516 ÷ 217
    43516 ÷ 131072     		y = 0.332000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808738708496094 × 2 - 1) × π
    0.617477416992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.93986252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332000732421875 × 2 - 1) × π
    0.33599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05557052963364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93986252} λ = 1.93986252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05557052963364))-π/2
    2×atan(2.87361416834241)-π/2
    2×1.23590985814525-π/2
    2.4718197162905-1.57079632675     		φ = 0.90102339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93986252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.145935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90102339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.624837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106003 KachelY 43516 1.93986252 0.90102339 111.145935 51.624837
    Oben rechts KachelX + 1 106004 KachelY 43516 1.93991045 0.90102339 111.148681 51.624837
    Unten links KachelX 106003 KachelY + 1 43517 1.93986252 0.90099363 111.145935 51.623132
    Unten rechts KachelX + 1 106004 KachelY + 1 43517 1.93991045 0.90099363 111.148681 51.623132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90102339-0.90099363) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90102339-0.90099363) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93986252-1.93991045) × cos(0.90102339) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.6208079939701 × 6371000     		do = 189.571189279054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93986252-1.93991045) × cos(0.90099363) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.620831324423612 × 6371000     		du = 189.578313513699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90102339)-sin(0.90099363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6208079939701-0.620831324423612)×R²
    abs(1.93991045-1.93986252)×2.33304535114387e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33304535114387e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33304535114387e-05×40589641000000     		ar = 35943.5548590631m²