Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105999 / 43559
↖ ↑ ↗
← N 51.551459°
E111.134949°		 ← 189.92 m → N 51.551459°
E111.137696°		 →
↑
189.92 m
↓
↑
189.92 m
↓
N 51.549751°
E111.134949°		 ← 189.92 m →
36 070 m²		 N 51.549751°
E111.137696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808712005615234 y=0.332332611083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808712005615234 × 217)
    floor (0.808712005615234 × 131072)
    floor (105999.5)     		tx = 105999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332332611083984 × 217)
    floor (0.332332611083984 × 131072)
    floor (43559.5)     		ty = 43559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105999 / 43559 ti = "17/105999/43559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105999/43559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105999 ÷ 217
    105999 ÷ 131072     		x = 0.808708190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43559 ÷ 217
    43559 ÷ 131072     		y = 0.332328796386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808708190917969 × 2 - 1) × π
    0.617416381835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.93967077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332328796386719 × 2 - 1) × π
    0.335342407226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.05350924294997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93967077} λ = 1.93967077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05350924294997))-π/2
    2×atan(2.8676969263844)-π/2
    2×1.23526950944077-π/2
    2.47053901888154-1.57079632675     		φ = 0.89974269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93967077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.134949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89974269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.551459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105999 KachelY 43559 1.93967077 0.89974269 111.134949 51.551459
    Oben rechts KachelX + 1 106000 KachelY 43559 1.93971871 0.89974269 111.137696 51.551459
    Unten links KachelX 105999 KachelY + 1 43560 1.93967077 0.89971288 111.134949 51.549751
    Unten rechts KachelX + 1 106000 KachelY + 1 43560 1.93971871 0.89971288 111.137696 51.549751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89974269-0.89971288) × R
    2.9809999999908e-05 × 6371000     		dl = 189.919509999414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89974269-0.89971288) × R
    2.9809999999908e-05 × 6371000     		dr = 189.919509999414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93967077-1.93971871) × cos(0.89974269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621811505537645 × 6371000     		do = 189.917239219225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93967077-1.93971871) × cos(0.89971288) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621834851467758 × 6371000     		du = 189.924369667206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89974269)-sin(0.89971288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621811505537645-0.621834851467758)×R²
    abs(1.93971871-1.93967077)×2.33459301134387e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33459301134387e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33459301134387e-05×40589641000000     		ar = 36069.6661211655m²