Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105997 / 43558
↖ ↑ ↗
← N 51.553167°
E111.129456°		 ← 189.87 m → N 51.553167°
E111.132202°		 →
↑
189.92 m
↓
↑
189.92 m
↓
N 51.551459°
E111.129456°		 ← 189.88 m →
36 061 m²		 N 51.551459°
E111.132202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808696746826172 y=0.332324981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808696746826172 × 217)
    floor (0.808696746826172 × 131072)
    floor (105997.5)     		tx = 105997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332324981689453 × 217)
    floor (0.332324981689453 × 131072)
    floor (43558.5)     		ty = 43558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105997 / 43558 ti = "17/105997/43558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105997/43558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105997 ÷ 217
    105997 ÷ 131072     		x = 0.808692932128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43558 ÷ 217
    43558 ÷ 131072     		y = 0.332321166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808692932128906 × 2 - 1) × π
    0.617385864257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.93957490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332321166992188 × 2 - 1) × π
    0.335357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05355717984959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93957490} λ = 1.93957490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05355717984959))-π/2
    2×atan(2.86783439817906)-π/2
    2×1.23528441301883-π/2
    2.47056882603766-1.57079632675     		φ = 0.89977250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93957490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.129456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89977250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.553167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105997 KachelY 43558 1.93957490 0.89977250 111.129456 51.553167
    Oben rechts KachelX + 1 105998 KachelY 43558 1.93962283 0.89977250 111.132202 51.553167
    Unten links KachelX 105997 KachelY + 1 43559 1.93957490 0.89974269 111.129456 51.551459
    Unten rechts KachelX + 1 105998 KachelY + 1 43559 1.93962283 0.89974269 111.132202 51.551459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89977250-0.89974269) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dl = 189.919510000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89977250-0.89974269) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dr = 189.919510000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93957490-1.93962283) × cos(0.89977250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.621788159054967 × 6371000     		do = 189.870494479104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93957490-1.93962283) × cos(0.89974269) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.621811505537645 × 6371000     		du = 189.877623608448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89977250)-sin(0.89974269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621788159054967-0.621811505537645)×R²
    abs(1.93962283-1.93957490)×2.33464826776553e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33464826776553e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33464826776553e-05×40589641000000     		ar = 36060.7882580329m²