Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105997 / 43557
↖ ↑ ↗
← N 51.554875°
E111.129456°		 ← 189.86 m → N 51.554875°
E111.132202°		 →
↑
189.92 m
↓
↑
189.92 m
↓
N 51.553167°
E111.129456°		 ← 189.87 m →
36 059 m²		 N 51.553167°
E111.132202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808696746826172 y=0.332317352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808696746826172 × 217)
    floor (0.808696746826172 × 131072)
    floor (105997.5)     		tx = 105997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332317352294922 × 217)
    floor (0.332317352294922 × 131072)
    floor (43557.5)     		ty = 43557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105997 / 43557 ti = "17/105997/43557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105997/43557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105997 ÷ 217
    105997 ÷ 131072     		x = 0.808692932128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43557 ÷ 217
    43557 ÷ 131072     		y = 0.332313537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808692932128906 × 2 - 1) × π
    0.617385864257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.93957490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332313537597656 × 2 - 1) × π
    0.335372924804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.05360511674921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93957490} λ = 1.93957490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05360511674921))-π/2
    2×atan(2.86797187656385)-π/2
    2×1.23529931603737-π/2
    2.47059863207474-1.57079632675     		φ = 0.89980231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93957490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.129456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89980231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.554875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105997 KachelY 43557 1.93957490 0.89980231 111.129456 51.554875
    Oben rechts KachelX + 1 105998 KachelY 43557 1.93962283 0.89980231 111.132202 51.554875
    Unten links KachelX 105997 KachelY + 1 43558 1.93957490 0.89977250 111.129456 51.553167
    Unten rechts KachelX + 1 105998 KachelY + 1 43558 1.93962283 0.89977250 111.132202 51.553167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89980231-0.89977250) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dl = 189.919510000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89980231-0.89977250) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dr = 189.919510000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93957490-1.93962283) × cos(0.89980231) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.621764812019746 × 6371000     		do = 189.863365181034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93957490-1.93962283) × cos(0.89977250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.621788159054967 × 6371000     		du = 189.870494479104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89980231)-sin(0.89977250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621764812019746-0.621788159054967)×R²
    abs(1.93962283-1.93957490)×2.33470352209997e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33470352209997e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33470352209997e-05×40589641000000     		ar = 36059.4342811298m²