Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105994 / 52722
↖ ↑ ↗
← N 33.169744°
E111.121216°		 ← 255.66 m → N 33.169744°
E111.123962°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
N 33.167444°
E111.121216°		 ← 255.66 m →
65 364 m²		 N 33.167444°
E111.123962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808673858642578 y=0.402240753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808673858642578 × 217)
    floor (0.808673858642578 × 131072)
    floor (105994.5)     		tx = 105994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402240753173828 × 217)
    floor (0.402240753173828 × 131072)
    floor (52722.5)     		ty = 52722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105994 / 52722 ti = "17/105994/52722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105994/52722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105994 ÷ 217
    105994 ÷ 131072     		x = 0.808670043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52722 ÷ 217
    52722 ÷ 131072     		y = 0.402236938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808670043945312 × 2 - 1) × π
    0.617340087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93943108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402236938476562 × 2 - 1) × π
    0.195526123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.6142634317314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93943108} λ = 1.93943108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.6142634317314))-π/2
    2×atan(1.84829470282582)-π/2
    2×1.07485878232315-π/2
    2.14971756464629-1.57079632675     		φ = 0.57892124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93943108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.121216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57892124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.169744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105994 KachelY 52722 1.93943108 0.57892124 111.121216 33.169744
    Oben rechts KachelX + 1 105995 KachelY 52722 1.93947902 0.57892124 111.123962 33.169744
    Unten links KachelX 105994 KachelY + 1 52723 1.93943108 0.57888111 111.121216 33.167444
    Unten rechts KachelX + 1 105995 KachelY + 1 52723 1.93947902 0.57888111 111.123962 33.167444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57892124-0.57888111) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dl = 255.668230000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57892124-0.57888111) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dr = 255.668230000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93943108-1.93947902) × cos(0.57892124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837053349397155 × 6371000     		do = 255.657638658937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93943108-1.93947902) × cos(0.57888111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837075304699939 × 6371000     		du = 255.664344373537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57892124)-sin(0.57888111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837053349397155-0.837075304699939)×R²
    abs(1.93947902-1.93943108)×2.19553027833719e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19553027833719e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19553027833719e-05×40589641000000     		ar = 65364.3931898076m²