Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105990 / 43547
↖ ↑ ↗
← N 51.571948°
E111.110230°		 ← 189.79 m → N 51.571948°
E111.112976°		 →
↑
189.79 m
↓
↑
189.79 m
↓
N 51.570241°
E111.110230°		 ← 189.80 m →
36 022 m²		 N 51.570241°
E111.112976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808643341064453 y=0.332241058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808643341064453 × 217)
    floor (0.808643341064453 × 131072)
    floor (105990.5)     		tx = 105990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332241058349609 × 217)
    floor (0.332241058349609 × 131072)
    floor (43547.5)     		ty = 43547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105990 / 43547 ti = "17/105990/43547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105990/43547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105990 ÷ 217
    105990 ÷ 131072     		x = 0.808639526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43547 ÷ 217
    43547 ÷ 131072     		y = 0.332237243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808639526367188 × 2 - 1) × π
    0.617279052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93923934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332237243652344 × 2 - 1) × π
    0.335525512695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.05408448574541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93923934} λ = 1.93923934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05408448574541))-π/2
    2×atan(2.86934702293838)-π/2
    2×1.23544831545076-π/2
    2.47089663090151-1.57079632675     		φ = 0.90010030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93923934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.110230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90010030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.571948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105990 KachelY 43547 1.93923934 0.90010030 111.110230 51.571948
    Oben rechts KachelX + 1 105991 KachelY 43547 1.93928727 0.90010030 111.112976 51.571948
    Unten links KachelX 105990 KachelY + 1 43548 1.93923934 0.90007051 111.110230 51.570241
    Unten rechts KachelX + 1 105991 KachelY + 1 43548 1.93928727 0.90007051 111.112976 51.570241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90010030-0.90007051) × R
    2.97899999999185e-05 × 6371000     		dl = 189.792089999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90010030-0.90007051) × R
    2.97899999999185e-05 × 6371000     		dr = 189.792089999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93923934-1.93928727) × cos(0.90010030) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.621531397455034 × 6371000     		do = 189.792089234843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93923934-1.93928727) × cos(0.90007051) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.621554734345096 × 6371000     		du = 189.799215434966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90010030)-sin(0.90007051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621531397455034-0.621554734345096)×R²
    abs(1.93928727-1.93923934)×2.33368900610653e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.33368900610653e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.33368900610653e-05×40589641000000     		ar = 36021.7135322456m²