Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105988 / 52724
↖ ↑ ↗
← N 33.165145°
E111.104736°		 ← 255.67 m → N 33.165145°
E111.107483°		 →
↑
255.60 m
↓
↑
255.60 m
↓
N 33.162846°
E111.104736°		 ← 255.68 m →
65 352 m²		 N 33.162846°
E111.107483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808628082275391 y=0.402256011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808628082275391 × 217)
    floor (0.808628082275391 × 131072)
    floor (105988.5)     		tx = 105988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402256011962891 × 217)
    floor (0.402256011962891 × 131072)
    floor (52724.5)     		ty = 52724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105988 / 52724 ti = "17/105988/52724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105988/52724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105988 ÷ 217
    105988 ÷ 131072     		x = 0.808624267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52724 ÷ 217
    52724 ÷ 131072     		y = 0.402252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808624267578125 × 2 - 1) × π
    0.61724853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93914346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402252197265625 × 2 - 1) × π
    0.19549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.614167557932159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93914346} λ = 1.93914346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.614167557932159))-π/2
    2×atan(1.84811750828483)-π/2
    2×1.07481865552834-π/2
    2.14963731105667-1.57079632675     		φ = 0.57884098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93914346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.104736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57884098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.165145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105988 KachelY 52724 1.93914346 0.57884098 111.104736 33.165145
    Oben rechts KachelX + 1 105989 KachelY 52724 1.93919140 0.57884098 111.107483 33.165145
    Unten links KachelX 105988 KachelY + 1 52725 1.93914346 0.57880086 111.104736 33.162846
    Unten rechts KachelX + 1 105989 KachelY + 1 52725 1.93919140 0.57880086 111.107483 33.162846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57884098-0.57880086) × R
    4.01199999999768e-05 × 6371000     		dl = 255.604519999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57884098-0.57880086) × R
    4.01199999999768e-05 × 6371000     		dr = 255.604519999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93914346-1.93919140) × cos(0.57884098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837097258654682 × 6371000     		do = 255.67104967641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93914346-1.93919140) × cos(0.57880086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837119205791144 × 6371000     		du = 255.677752896805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57884098)-sin(0.57880086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837097258654682-0.837119205791144)×R²
    abs(1.93919140-1.93914346)×2.19471364625301e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19471364625301e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19471364625301e-05×40589641000000     		ar = 65351.5326257746m²