Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105984 / 52736
↖ ↑ ↗
← N 33.137551°
E111.093750°		 ← 255.70 m → N 33.137551°
E111.096496°		 →
↑
255.73 m
↓
↑
255.73 m
↓
N 33.135251°
E111.093750°		 ← 255.70 m →
65 391 m²		 N 33.135251°
E111.096496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808597564697266 y=0.402347564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808597564697266 × 217)
    floor (0.808597564697266 × 131072)
    floor (105984.5)     		tx = 105984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402347564697266 × 217)
    floor (0.402347564697266 × 131072)
    floor (52736.5)     		ty = 52736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105984 / 52736 ti = "17/105984/52736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105984/52736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105984 ÷ 217
    105984 ÷ 131072     		x = 0.80859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52736 ÷ 217
    52736 ÷ 131072     		y = 0.40234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80859375 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93895172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40234375 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93895172} λ = 1.93895172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613592315136719))-π/2
    2×atan(1.84705469771943)-π/2
    2×1.07457785056741-π/2
    2.14915570113482-1.57079632675     		φ = 0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93895172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105984 KachelY 52736 1.93895172 0.57835937 111.093750 33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 105985 KachelY 52736 1.93899965 0.57835937 111.096496 33.137551
    Unten links KachelX 105984 KachelY + 1 52737 1.93895172 0.57831923 111.093750 33.135251
    Unten rechts KachelX + 1 105985 KachelY + 1 52737 1.93899965 0.57831923 111.096496 33.135251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57835937-0.57831923) × R
    4.01400000000773e-05 × 6371000     		dl = 255.731940000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57835937-0.57831923) × R
    4.01400000000773e-05 × 6371000     		dr = 255.731940000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93895172-1.93899965) × cos(0.57835937) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 255.698141295077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93895172-1.93899965) × cos(0.57831923) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837382570175635 × 6371000     		du = 255.704841515606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57835937)-sin(0.57831923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.837382570175635)×R²
    abs(1.93899965-1.93895172)×2.194189149618e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.194189149618e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.194189149618e-05×40589641000000     		ar = 65391.0384667889m²