Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105982 / 44931
↖ ↑ ↗
← N 49.147580°
E111.088257°		 ← 199.78 m → N 49.147580°
E111.091003°		 →
↑
199.73 m
↓
↑
199.73 m
↓
N 49.145784°
E111.088257°		 ← 199.79 m →
39 904 m²		 N 49.145784°
E111.091003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808582305908203 y=0.342800140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808582305908203 × 217)
    floor (0.808582305908203 × 131072)
    floor (105982.5)     		tx = 105982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342800140380859 × 217)
    floor (0.342800140380859 × 131072)
    floor (44931.5)     		ty = 44931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105982 / 44931 ti = "17/105982/44931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105982/44931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105982 ÷ 217
    105982 ÷ 131072     		x = 0.808578491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44931 ÷ 217
    44931 ÷ 131072     		y = 0.342796325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808578491210938 × 2 - 1) × π
    0.617156982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93885584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342796325683594 × 2 - 1) × π
    0.314407348632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.987739816671257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93885584} λ = 1.93885584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987739816671257))-π/2
    2×atan(2.6851586578749)-π/2
    2×1.21429171054596-π/2
    2.42858342109193-1.57079632675     		φ = 0.85778709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93885584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.088257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85778709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.147580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105982 KachelY 44931 1.93885584 0.85778709 111.088257 49.147580
    Oben rechts KachelX + 1 105983 KachelY 44931 1.93890378 0.85778709 111.091003 49.147580
    Unten links KachelX 105982 KachelY + 1 44932 1.93885584 0.85775574 111.088257 49.145784
    Unten rechts KachelX + 1 105983 KachelY + 1 44932 1.93890378 0.85775574 111.091003 49.145784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85778709-0.85775574) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dl = 199.730849999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85778709-0.85775574) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dr = 199.730849999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93885584-1.93890378) × cos(0.85778709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654112906698255 × 6371000     		do = 199.782918571734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93885584-1.93890378) × cos(0.85775574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654136619420352 × 6371000     		du = 199.790161047428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85778709)-sin(0.85775574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654112906698255-0.654136619420352)×R²
    abs(1.93890378-1.93885584)×2.37127220971134e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37127220971134e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37127220971134e-05×40589641000000     		ar = 39903.5354180072m²