Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105977 / 52727
↖ ↑ ↗
← N 33.158248°
E111.074524°		 ← 255.64 m → N 33.158248°
E111.077270°		 →
↑
255.73 m
↓
↑
255.73 m
↓
N 33.155948°
E111.074524°		 ← 255.64 m →
65 376 m²		 N 33.155948°
E111.077270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808544158935547 y=0.402278900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808544158935547 × 217)
    floor (0.808544158935547 × 131072)
    floor (105977.5)     		tx = 105977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402278900146484 × 217)
    floor (0.402278900146484 × 131072)
    floor (52727.5)     		ty = 52727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105977 / 52727 ti = "17/105977/52727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105977/52727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105977 ÷ 217
    105977 ÷ 131072     		x = 0.808540344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52727 ÷ 217
    52727 ÷ 131072     		y = 0.402275085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808540344238281 × 2 - 1) × π
    0.617080688476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.93861616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402275085449219 × 2 - 1) × π
    0.195449829101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.614023747233299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93861616} λ = 1.93861616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.614023747233299))-π/2
    2×atan(1.84785174832441)-π/2
    2×1.07475846138999-π/2
    2.14951692277997-1.57079632675     		φ = 0.57872060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93861616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.074524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57872060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.158248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105977 KachelY 52727 1.93861616 0.57872060 111.074524 33.158248
    Oben rechts KachelX + 1 105978 KachelY 52727 1.93866409 0.57872060 111.077270 33.158248
    Unten links KachelX 105977 KachelY + 1 52728 1.93861616 0.57868046 111.074524 33.155948
    Unten rechts KachelX + 1 105978 KachelY + 1 52728 1.93866409 0.57868046 111.077270 33.155948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57872060-0.57868046) × R
    4.01400000000773e-05 × 6371000     		dl = 255.731940000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57872060-0.57868046) × R
    4.01400000000773e-05 × 6371000     		dr = 255.731940000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93861616-1.93866409) × cos(0.57872060) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837163106960783 × 6371000     		do = 255.637825782808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93861616-1.93866409) × cos(0.57868046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837185060992545 × 6371000     		du = 255.644529710514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57872060)-sin(0.57868046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837163106960783-0.837185060992545)×R²
    abs(1.93866409-1.93861616)×2.19540317618616e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19540317618616e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19540317618616e-05×40589641000000     		ar = 65375.6143380533m²