Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105976 / 52744
↖ ↑ ↗
← N 33.119150°
E111.071777°		 ← 255.81 m → N 33.119150°
E111.074524°		 →
↑
255.80 m
↓
↑
255.80 m
↓
N 33.116850°
E111.071777°		 ← 255.81 m →
65 435 m²		 N 33.116850°
E111.074524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808536529541016 y=0.402408599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808536529541016 × 217)
    floor (0.808536529541016 × 131072)
    floor (105976.5)     		tx = 105976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402408599853516 × 217)
    floor (0.402408599853516 × 131072)
    floor (52744.5)     		ty = 52744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105976 / 52744 ti = "17/105976/52744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105976/52744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105976 ÷ 217
    105976 ÷ 131072     		x = 0.80853271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52744 ÷ 217
    52744 ÷ 131072     		y = 0.40240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80853271484375 × 2 - 1) × π
    0.6170654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93856822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40240478515625 × 2 - 1) × π
    0.1951904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.613208819939758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93856822} λ = 1.93856822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613208819939758))-π/2
    2×atan(1.84634649691882)-π/2
    2×1.07441727184998-π/2
    2.14883454369996-1.57079632675     		φ = 0.57803822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93856822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.071777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57803822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.119150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105976 KachelY 52744 1.93856822 0.57803822 111.071777 33.119150
    Oben rechts KachelX + 1 105977 KachelY 52744 1.93861616 0.57803822 111.074524 33.119150
    Unten links KachelX 105976 KachelY + 1 52745 1.93856822 0.57799807 111.071777 33.116850
    Unten rechts KachelX + 1 105977 KachelY + 1 52745 1.93861616 0.57799807 111.074524 33.116850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57803822-0.57799807) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dl = 255.795650000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57803822-0.57799807) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dr = 255.795650000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93856822-1.93861616) × cos(0.57803822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837536142027786 × 6371000     		do = 255.805095955414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93856822-1.93861616) × cos(0.57799807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837558078587109 × 6371000     		du = 255.811795945278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57803822)-sin(0.57799807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837536142027786-0.837558078587109)×R²
    abs(1.93861616-1.93856822)×2.19365593232546e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19365593232546e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19365593232546e-05×40589641000000     		ar = 65434.6877162087m²