Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105970 / 43626
↖ ↑ ↗
← N 51.436888°
E111.055298°		 ← 190.40 m → N 51.436888°
E111.058045°		 →
↑
190.37 m
↓
↑
190.37 m
↓
N 51.435176°
E111.055298°		 ← 190.40 m →
36 245 m²		 N 51.435176°
E111.058045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808490753173828 y=0.332843780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808490753173828 × 217)
    floor (0.808490753173828 × 131072)
    floor (105970.5)     		tx = 105970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332843780517578 × 217)
    floor (0.332843780517578 × 131072)
    floor (43626.5)     		ty = 43626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105970 / 43626 ti = "17/105970/43626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105970/43626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105970 ÷ 217
    105970 ÷ 131072     		x = 0.808486938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43626 ÷ 217
    43626 ÷ 131072     		y = 0.332839965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808486938476562 × 2 - 1) × π
    0.616973876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93828060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332839965820312 × 2 - 1) × π
    0.334320068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05029747067543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93828060} λ = 1.93828060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05029747067543))-π/2
    2×atan(2.858501311919)-π/2
    2×1.23426969471494-π/2
    2.46853938942987-1.57079632675     		φ = 0.89774306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93828060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.055298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89774306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.436888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105970 KachelY 43626 1.93828060 0.89774306 111.055298 51.436888
    Oben rechts KachelX + 1 105971 KachelY 43626 1.93832854 0.89774306 111.058045 51.436888
    Unten links KachelX 105970 KachelY + 1 43627 1.93828060 0.89771318 111.055298 51.435176
    Unten rechts KachelX + 1 105971 KachelY + 1 43627 1.93832854 0.89771318 111.058045 51.435176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89774306-0.89771318) × R
    2.98800000000377e-05 × 6371000     		dl = 190.36548000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89774306-0.89771318) × R
    2.98800000000377e-05 × 6371000     		dr = 190.36548000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93828060-1.93832854) × cos(0.89774306) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.62337630543421 × 6371000     		do = 190.395169386467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93828060-1.93832854) × cos(0.89771318) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.62339966898467 × 6371000     		du = 190.402305216155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89774306)-sin(0.89771318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62337630543421-0.62339966898467)×R²
    abs(1.93832854-1.93828060)×2.3363550460509e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.3363550460509e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.3363550460509e-05×40589641000000     		ar = 36245.3470206606m²