Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105968 / 45041
↖ ↑ ↗
← N 48.949563°
E111.049805°		 ← 200.54 m → N 48.949563°
E111.052551°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
N 48.947759°
E111.049805°		 ← 200.55 m →
40 221 m²		 N 48.947759°
E111.052551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808475494384766 y=0.343639373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808475494384766 × 217)
    floor (0.808475494384766 × 131072)
    floor (105968.5)     		tx = 105968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343639373779297 × 217)
    floor (0.343639373779297 × 131072)
    floor (45041.5)     		ty = 45041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105968 / 45041 ti = "17/105968/45041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105968/45041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105968 ÷ 217
    105968 ÷ 131072     		x = 0.8084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45041 ÷ 217
    45041 ÷ 131072     		y = 0.343635559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8084716796875 × 2 - 1) × π
    0.616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93818473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343635559082031 × 2 - 1) × π
    0.312728881835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.982466757713051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93818473} λ = 1.93818473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982466757713051))-π/2
    2×atan(2.67103692305135)-π/2
    2×1.21256368217126-π/2
    2.42512736434252-1.57079632675     		φ = 0.85433104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93818473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.049805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85433104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.949563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105968 KachelY 45041 1.93818473 0.85433104 111.049805 48.949563
    Oben rechts KachelX + 1 105969 KachelY 45041 1.93823266 0.85433104 111.052551 48.949563
    Unten links KachelX 105968 KachelY + 1 45042 1.93818473 0.85429956 111.049805 48.947759
    Unten rechts KachelX + 1 105969 KachelY + 1 45042 1.93823266 0.85429956 111.052551 48.947759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85433104-0.85429956) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dl = 200.559080000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85433104-0.85429956) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dr = 200.559080000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93818473-1.93823266) × cos(0.85433104) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656723140629868 × 6371000     		do = 200.538311370835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93818473-1.93823266) × cos(0.85429956) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656746880372372 × 6371000     		du = 200.545560586798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85433104)-sin(0.85429956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656723140629868-0.656746880372372)×R²
    abs(1.93823266-1.93818473)×2.37397425046915e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37397425046915e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37397425046915e-05×40589641000000     		ar = 40220.5061847387m²